Ableitung / Elastizität

Question

Aufgabe: Berechnen Sie die Elastizität der Funktion f(x)=13.35x⋅e^5.61x5 an der Stelle x=0.86.

…

Problem/Ansatz: Hallo, habe nun ein paarmal gerechnet, erhalte aber immer das falsche Ergebnis... Könnt ihr mir bitte helfen?

Answer 1

Wenn das ein x⁵ ist bei dem e, dann bekomme ich

f ' (x) = (374,468x⁵ + 13,35) * e^(5,61x⁵)

also f ' ( 0,86) = 2653,24

und für die Elastizität

e = f ' (0,86) * 0,86 /  f(0,86 ) = 2653,24 * 0,86 / 160,74 = 14,2

Comments

Es müsste -12,2 rauskommen...

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Ach das x war ein Malpunkt. Das wäre gut zu wissen gewesen.

Answer 2

Aloha :)

Wir benötigen daher die Ableitung von $f$:$$f'(x)=[\underbrace{13,35x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{5,61x^5}}_{=v}]'=\underbrace{13,35}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{5,61x^5}}_{=v}+\underbrace{13,35x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{5,61x^5}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(28,05x^4)}^{=\text{innere}}}_{=v'}$$$$f'(x)=13,15\,e^{5,61x^5}\left(1+28,05x^5\right)$$Damit ist die Elastizität$$\varepsilon(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\cdot x=\frac{\cancel{13,15\,e^{5,61x^5}}\left(1+28,05x^5\right)}{\cancel{13,15}\cdot x\cdot\cancel{e^{5,61x^5}}}\cdot x=1+28,05x^5$$$$\varepsilon(0,86)=14,1955$$Wegen des Kommentars in einer anderen Antwort:$$\varepsilon(-0,86)=-12.1955$$

Comments

Die "gewünschte" negative Lösung kommt für $x=-0,86$ heraus!