Entfernung zweier Objekte (Erde, Mond: Trigonometrie)

Question

Ich grübel jetzt schon einige Zeit an der Aufgabe und komme nicht weiter...

Gemessen von einer Position auf der Erdoberfläche am Äquator beträgt der Winkel zwischen der Richtung zum Mond und einer nicht veränderlichen Richtung als Referenz (entfernter Stern) in der Ebene der Umlaufbahn des Mondes um 20 Uhr abends 11°57’ und am nächsten Tag um 4 Uhr morgens 14° 32'. Unter der Annahme, dass die Erde, der Mond und der Referenzstern in derselben Ebene liegen und dass die Rotationsachse senkrecht zur der Ebene ist, schätzen Sie die ungefähre Entfernung zwischen den Zentren der Erde und des Mondes.

Annahmen: Mondumlaufzeit: 27.32 Tage, Erdradius 6371 km

Zusätzlich als Tipp haben wir erhalten, dass sich hier nicht nur die Erde dreht, sondern auch der Mond sich bewegt. Die Bewegung des Mondes muss aus den Winkelmessungen herausgerechnet werden. Anschließend kann der Abstand mit Hilfe von Trigonometrie berechnet werden.

Ich wäre über Hilfe dankbar! :-)

Answer 1

Aloha :)

Zwischen den beiden Winkelmessungen$$\alpha=11^\circ57'=11,95^\circ\text{ und }\beta=14^\circ32'=14,53^\circ$$liegen $8\,\mathrm h$ Zeitverzögerung. In der Zeit hat sich der Beobachter auf der Erde um$$\Delta e=2\pi\cdot R\cdot\frac{8}{24}=\frac{2}{3}\pi\cdot6371\,\mathrm{km}=13\,343\,\mathrm{km}$$nach links weiter bewegt. In deselben Zeit hat sich der Mond um$$\Delta m=2\pi\,a\cdot\frac{8}{27,32\cdot24\cdot\frac{365}{366}}=0,076872\,a$$nach links weiter bewegt, wobei $a$ der gesuchte Abstand zwischen Erde und Mond ist. Der Mond hat also relativ zum Beobachter die Strecke:$$\Delta s=\Delta m-\Delta e=0,076872\,a-13\,343\,\mathrm{km}$$zurückgelegt. Dieser Kreisbogen entspricht einem Öffnungswinkel von$$\Delta\varphi=\beta-\alpha=2,58^\circ=0,045029\,\text{rad}$$Damit lautet die Bestimmungsgleichung für den Abstand $a$ zwischen Erde und Mond:$$\left.\Delta s=\Delta\varphi\cdot a\quad\right|\quad\text{Alles einsetzen}$$$$\left.0,076872\,a-13\,343\,\mathrm{km}=0,045029\,a\quad\right|\quad-0,045029\,a$$$$\left.0,031843\,a-13\,343\,\mathrm{km}=0\quad\right|\quad+13\,343\,\mathrm{km}$$$$\left.0,031843\,a=13\,343\,\mathrm{km}\quad\right|\quad:\,0,031843$$$$a=\frac{13\,343\,\mathrm{km}}{0,031843}=419\,025\,\mathrm{km}$$

Der tatsächliche Abstand zwischen Erde und Mond liegt zwischen $363\,000\,\mathrm{km}$ und $405\,500\,\mathrm{km}$.

Comments

Warum setzt du in     Δs=Δm−Δe   für Δe einen Teil des Erdumfangs ein ? Sollte es nicht eine geeignete Projektion der Sehne auf sie Mondbahn sein?

Answer 2

Hallo

mach eine Skizze, Äquator als Kreis,  zeichne die Richtung zum Mond, zB, gegenüber einem Fixstern , der senkrecht über dir  ist ein. dann lass den Mond wandern:  8 Stunden d,h. 360°/(27,4*24) in1 h,

dann zeichne den Punkt auf der Erde 8/24*360° weiter.  das ist auch wieviel weiter du auf dem Umfang bist, dann lies aus der Zeichnung die Rechnung ab.

Gruß lul