Zeige für a < b P(a < X ≤ b) = F_X (b+0)−F_X (a+0). P(a ≤ X ≤ b) = F_X (b+0)−F_X (a)

Question

Aufgabe:

Zeige für a < b
2. P(a < X ≤ b) = F_X (b+0)−F_X (a+0).
4. P(a ≤ X ≤ b) = F_X (b+0)−F_X (a).
5. P(X = a) = F_X (a+0)−F_X (a).
7. P(X > b) = 1−F_X (b+0).

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand helfen bitte die Aufgaben zu lösen?

Die sind aus Stochastik. Vielen

Answer 1

Hallo,

all diese Aussagen sind triviale Folgerungen aus der Definition der Verteilung einer Zufallsvariable \(X\). Diese ist gegeben durch

\(F_X(x) = \mathbb{P}(X\leq x)\)

wobei \(\mathbb{P}\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum repräsentiert.

Comments

Danke erstmal für deine Antwort!

Könntest du bitte mindestens eine Aussage davon beweisen? damit ich verstehe wie man das beweisen kann

Vielen Dank im Voraus! :)

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\(\mathbb{P}(a<X\leq b)= \int_{(a,b]} f(x) \mathbb{P}(dx)= \int_a^b f(x) \mathbb{P}(dx)= \int_{-\infty}^b f(x) \mathbb{P}(dx)- \int_{-\infty}^a f(x) \mathbb{P}(dx)=F_X(b)-F_X(a)\)

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Vielen Dank! :)