Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
... um einzelne Rechenschritte zum nachvollziehen
zu rechnen gibt es hier nichts. Das hat eher was mit Logik zu tun ;-)
Zunächst mal: die beiderseitige Schlußfolgerung gilt nur genau dann immer wenn man statt \(A \subset B\) die Beziehung \(A \subseteq B\) benutzt. Das deckt dann auch den Fall \(A=B\) ab.
Jetzt schau Dir die Definition von Untermenge an: $$A \subseteq B : \Leftrightarrow \forall x \in A: x \in B $$Also in Worten: jedes Element \(x\) der Menge \(A\) ist auch in der Menge \(B\) enthalten. Wenn aber jedes Element \(x\) aus \(A\) auch in \(B\) steckt, so sind doch alle Elemente \(x\) aus \(A\) in beiden Mengen enthalten. Folglich sind alle diese \(x\) auch Teil der Schnittmenge \(A \cap B\). Und da die Schnittmenge nicht größer sein kann als eine der beiden Mengen \(A\) und \(B\), gilt somit:$$A \subseteq B \Rightarrow A \cap B = A$$Bem.: mit der gleichen Argumentation gilt auch \(A \subset B \Rightarrow A \cap B = A\)
Umgekehrt; wenn \( A \cap B = A\) ist, dann ist jedes Element \(x\) von \(A\) auch in der Schnittmenge und damit wiederum in \(B\) enthalten. Formal: \(\forall x \in A: x \in B \) , was wiederum die Defintion der Teilmenge ist. Daraus folgt:$$A \cap B = A \Rightarrow A \subseteq B$$ Bem.: Aus \(A \cap B = A\) folgt nicht(!), dass \(A \subset B\) ist. Letzteres setzt noch zusätzlich voraus, dass \(A \ne B\) ist!
Fasst man beide Schlußfolgerungen zusammen, so steht da $$A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A$$Gruß Werner
