Gegeben ist die folgende Gleichung

Question

Aufgabe:

Wie lautet hier die Lösung für die folgende Gleichung:

\( \displaystyle \frac{\sin(x^2 -1)}{1 - \sin(x^2 - 1)} = \sin (x) + \sin^2 (x) + \sin^3 (x) + \sin^4(x) + \dots\)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Für sin(x)≠0 gilt

\( sin (x) + sin^2 (x) + sin^3 (x) + sin^4(x) + ...   \)

\(= (1+sin (x) + sin^2 (x) + sin^3 (x) + sin^4(x) + ... )·sin(x) \)

\(=\frac{1}{1-sin (x)}·sin(x) \)

\(=\frac{sin(x)}{1-sin (x)} \)

Hilft dir diese Umformung?

Comments

Tipp: Benutze \sin(x) \(\sin(x)\) bzw. \sin{x} \(\sin{x}\) anstatt sin(x) \(sin(x)\) für die korrekte Darstellung vom Sinus. Bei sin(x) fasst der Parser die einzelnen Buchstaben als Variablen auf und deshalb stimmen dann die Abstände nicht.

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Ja @abakus soweit komme ich noch mit . Wie mache ich dann weiter?

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Forme

\(\displaystyle \frac{\sin(x^2 -1)}{1 - \sin(x^2 - 1)} =\frac{\sin(x)}{1 - \sin(x)}\)

mal ein wenig um (z.B. Brüche beseitigen).

Man könnte auch erkennen, dass \( \frac{a}{1-a}=-1+ \frac{1}{1-a} \) ist.

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Was wäre die endgültige Lösung dieser Aufgabe?

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Kann jemand hier weiterhelfen?

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Du hast also nicht wirklich versucht, einen der beiden Hinweise weiter zu verfolgen?

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Nein! Weil ich das gar nicht verstehe. Ich brauche eine Lösung vielleicht kann ich das nachvollziehen. :)

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Forme

\(\displaystyle \frac{\sin(x^2 -1)}{1 - \sin(x^2 - 1)} =\frac{\sin(x)}{1 - \sin(x)}\)

mal ein wenig um (z.B. Brüche beseitigen.

Dann mache ich das mal konkreter: Multipliziere die Gleichung mit beiden Nennern.

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Vielleicht so?

$$ \frac{sin (x^2-1) * sin(x) - sin(x^2 -1) - sin(x) * sin(x^2-1) + sin (x)}{1-sin(x^2-1) * 1 -sin(x)} $$

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Bei mir stand da eine Gleichung. Du hast plötzlich nur noch einen einzelnen Term?

Der Sinn der vorgeschlagenen Multiplikation bestand übrigens in der Möglichkeit, nach der durchgeführten Multiplikation zu kürzen und so keine Brüche mehr zu haben:

\(\displaystyle \frac{\sin(x^2 -1)\cdot(1 - \sin(x))\cdot(1 - \sin(x^2 - 1))}{1 - \sin(x^2 - 1)} =\frac{\sin(x)\cdot(1 - \sin(x))(1 - \sin(x^2 - 1))}{1 - \sin(x)}\)

Gekürzt:

\(\displaystyle \frac{\sin(x^2 -1)\cdot(1 - \sin(x))}{1} =\frac{\sin(x)\cdot(1 - \sin(x^2 - 1))}{1}\)

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Ok , dann habe ich etwas falsch gemacht...

Wie geht es dann weiter?

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Das lässt sich ausmultiplizieren zu

\(\displaystyle \sin(x^2 -1) - \sin(x)\cdot\sin(x^2 -1) =\sin(x) - \sin(x) \cdot\sin(x^2 - 1)\),

und nach beidseitiger Addition des gemeinsamen Subtrahenden
\( \sin(x)\cdot\sin(x^2 -1)\) bleibt nur noch

\(\displaystyle \sin(x^2 -1)  =\sin(x) \),

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Darauf wäre ich nie gekommen...

Vielen herzlichen Dank @abakus.

Answer 2

Auf jeden Fall schon mal alle x für die 1-SIN(X^2-1) Null ist (Satz vom Nullprodukt).

Der unendliche Term ist Null, wenn x = 0, Pi, 2Pi ...

Bei 1 ist ein Pol.

Comments

Warum Pol bei 1?

Der Bruch wir doch Null.

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Du bringst SIN(X^2-1) auf die andere Seite.

Dann steht es im Nenner.

Answer 3

x= 1 -> alles wird zu Null.

Comments

Wie kommt man darauf. Kannst du vielleicht ausführlich erklären bitte?