Wahrscheinlichkeit von Befragungsergebnissen

Question

Aufgabe:

ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95% der Fahrgäste zufrieden sind.

c) Wie viele Fahrgäste müssen mindestbefragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einer davon unzufrieden ist?

d) Wie viele Fahrgäste müssen mindestbefragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind?

Problem/Ansatz:

So hätte ich die beiden Teilaufgaben ausgerechnet:

zu c) P(X≥1)≥90%

Gegenwahrscheinlichkeit: 1-P(X=0)≥90%

zu d) P(X≥2)≥90%

Gegenwahrscheinlichkeit: 1-P(X≤1)≥90%

Laut meinem Taschenrechner sind beide Ergebnisse falsch. Kann mir jemand erklären, wieso gerade das falsch sein soll und mir dabei helfen, die richtigen Lösungen herauszufinden?

LG

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% …

Stichworte: wahrscheinlichkeit,stochastik

Aufgabe:

Ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95% der Fahrgäste zufrieden sind.

c) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einer davon unzufrieden ist?

d) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind?

Lösungen:

c) P(X≥1) ≥ 0,9 führt zu 0,95n ≤ 0,1 = 44,89 = 45 Fahrgäste

d) P(X≥2) ≥ 0,9 ⇒

  0,95n + 2*0,95n-1 + 0,05 ≤ 1

  n ≥ 77

Frage:

Kann mir bitte jemand von vorne bis hinten die Lösung erklären? Ich verstehe das Thema leider gar nicht und weiß zb nicht mal was ≥ das heißt. Danke :))

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Wollte aber die frage Schritt für Schritt beantwortet bekommen haben

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Da spricht ja nichts dagegen. Beachte die zweite Zeile im gelben Kasten oben auf dieser Seite.

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Kann mir bitte jemand von vorne bis hinten die Lösung erklären?

Günstiger ist es, wenn du sagst, was du nicht verstehst. Bei c) musst du die Gleichung 1 - 0.95ⁿ ≥ 0.9 mittels Äquivalenzumformungen nach n auflösen.

Ich verstehe das Thema leider gar nicht und weiß zb nicht mal was ≥ das heißt. Danke :))

≥ bedeutet größer > oder gleich =.

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Bin so überfordert, dass och nicht mal weiß, was ich nicht verstehe

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Dann ist es ungünstig, zu fragen. Dabei müsste man nämlich sagen, was man nicht versteht.

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Bin so überfordert, dass och nicht mal weiß, was ich nicht verstehe

Eine Lösung besteht ja oft aus mehreren Zeilen. Dann schau dir jede Zeile an und prüfe, ob du es verstehst, was dort steht.

Ist es die erste Zeile, ist das meist der Ansatz. Das ist die wichtigste Zeile, weil das die mathematische Formulierung des Sachverhaltes ist.

Evtl. sind Zeilen, die dahinter stehen, einfach nur Äquivalenzumformungen der Zeile darüber. Wenn dem so ist, solltest du die Art der Äquivalenzumformung mittels Strich dahinter schreiben, wie ihr es gelernt habt.

Solltest du eine Zeile nicht verstehen, wäre das ein guter Ansatz zu Fragen.

Answer 1

Ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95% der Fahrgäste zufrieden sind.

c) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einer davon unzufrieden ist?

P(X ≥ 1) ≥ 0.9
1 - P(X = 0) ≥ 0.9
1 - 0.95ⁿ ≥ 0.9 --> n ≥ 45

d) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind?

P(X ≥ 2) ≥ 0.9
1 - P(X = 0) - P(X = 1) ≥ 0.9
1 - 0.95ⁿ - n·0.05·0.95^(n - 1) ≥ 0.9 --> n ≥ 77

Comments

Kannst du mir sagen, warum du statt 0,05ⁿ 0,95ⁿ genommen hast?

Es geht doch eigentlich darum, dass null Fahrgäste damit zufrieden sind und 0,05 die Wahrscheinlichkeit für die Zufriedenstellung ist?

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Kannst du mir sagen, warum du statt 0,05n 0,95n genommen hast?

Es geht doch eigentlich darum, dass null Fahrgäste damit zufrieden sind und 0,05 die Wahrscheinlichkeit für die Zufriedenstellung ist?

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Es geht doch eigentlich darum, dass null Fahrgäste damit zufrieden sind

Bist du sicher. Da solltest du nochmals genau überlegen.

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Ich wollte fragen, ob die Gegenwahrscheinlichkeit Null zufriedene sind, also 0.05ⁿ sind?

Wenn nicht, kannst du mir das bitte erklären?

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"mindestens einer davon unzufrieden ist?" bedeutet einer, zwei, drei, vier, ... sind unzufrieden.

Das Gegenteil davon ist keiner ist unzufrieden.

Answer 2

Da nun noch eine Fragestellerin aufgetaucht ist, die es nochmals erklärt haben möchte:

Bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen ist bei n Ziehungen, welche jeweils die Erfolgswahrscheinlichkeit p haben, die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge

$\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

In dieser Aufgabe ist p für "zufrieden" = 95 % und p für "unzufrieden" = 5 % und die Anzahl Ziehungen ist die Anzahl Befragungen.

c)

$\displaystyle P(X ≥ 1) = \sum\limits_{k=1}^{n} \; \binom{n}{k}\cdot 0,05^k \cdot (1-0,05)^{n-k} \geq 0,9$

Ausprobieren dieser Formel mit diversen n ergibt für n = 44 eine Wahrscheinlichkeit von ca. 89,5% und für n = 45 eine Wahrscheinlichkeit von ca. 90,1 % also ist die Lösung n = 45.

d)

$\displaystyle P(X ≥ 2) = \sum\limits_{k=2}^{n} \; \binom{n}{k}\cdot 0,05^k \cdot (1-0,05)^{n-k} \geq 0,9$

Ausprobieren dieser Formel mit diversen n ergibt für n = 76 eine Wahrscheinlichkeit von ca. 89,9% und für n = 77 eine Wahrscheinlichkeit von ca. 90,3 % also ist die Lösung n = 77.

Comments

Die FS weiß nicht einmal, was $\geq$ bedeutet. Denkst du ernsthaft, dass sie dann mit $\Sigma$ etwas anfangen kann?

Bei so fundamentalen Verständnisschwierigkeiten/Defiziten bin ich mir nicht sicher, ob solch ein Forum die richtige Plattform ist. Da bringt nämlich dann auch jede noch so ausführlich vorgerechnete Lösung nichts, wenn man mathematische Notation nicht versteht.

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Sie wird in der Lage sein, nachzufragen.

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Bin so überfordert, dass och nicht mal weiß, was ich nicht verstehe

Das darf man bezweifeln. ;)