Schneidet Gerade eine Pyramide?

Question

Aufgabe:

Schneidet die Gerade g durch F1(56|-44|15) und F2(48|-36|14) die Pyramide mit den Eckpunkten A(0|-16|0), B(16|0|0), C(0|16|0), D(-16|0|0) und S(0|0|12)?

Problem/Ansatz:

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 56\\-44\\15 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -8\\8\\-1\end{pmatrix}\quad r\in\mathbb{R}$$

$$E_{ABS}:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-16\\0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 16\\16\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\16\\12 \end{pmatrix}\quad s, t\in \mathbb{R}$$

$$E_{BCS}:\vec{x}=\begin{pmatrix} 16\\0\\0 \end{pmatrix} + s_1\begin{pmatrix} -16\\16\\0\end{pmatrix}+t_1\begin{pmatrix} -16\\0\\12 \end{pmatrix}\quad s_1, t_1\in \mathbb{R}$$

Sind diese Gleichungen richtig? Gibt es noch einen einfacheren Weg als jetzt zwei Gleichungssysteme aufzustellen?

Answer 1

Hallo,

mache Dir zunächst eine Skizze, die das Szenario als Projektion auf die XY-Ebene darstellt. Die Grundfläche der Pyramide liegt in der XY-Ebene.

Die Geradengleichung in x,y kannst Du berechnen aus$$g_{xy}: \quad \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}56\\ -44\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-8\\ 8\end{pmatrix} t \\ \begin{aligned} \implies x &= 56 - 8t \\ t &= -\frac 18 x + 7 \\ \implies y &= -44 + 8\left( -\frac 18 x + 7\right) = -x + 12 \end{aligned}$$wie man sieht, durchquert die Gerade die Grundfläche. Die Höhe der Gerade bei \(F_1\) ist \(z=15\). Von dort senkt sich die Gerade Richtung Pyramide ab.

Der kritische Punkt liegt also bei der Kante \(CS\) der Pyramide. Wenn die Gerade dort noch oberhalb der Kante liegt, gibt es keinen Schnittpunkt. Da die Kante \(CS\) in der YZ-Ebene liegt, berechnet man den Schnittpunkt von \(g\) mit der YZ-Ebene.$$\begin{aligned} x=0 &= 56 + (-8)r_{yz} \implies r_{yz} = 7 \\ g(r=7) &= \begin{pmatrix}0\\ 12\\ 8\end{pmatrix}\end{aligned} $$Die Höhe der Geraden über der XY-Ebene ist dort 8 und die Kante \(CS\) hat aber nur die Höhe 3, wie sich leicht prüfen lässt.

Also liegt KEIN Schnittpunkt der Geraden mit der Pyramide vor!

Folgendes Bild zeigt das nochmal:

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck)

Comments

Vielen Dank für die super Antwort! Ich habe ganz vergessen, dass man bei der Aufgabe Spurpunkte berechnen kann.

Answer 2

Die Grundfläche der Pyramide liegt in der xy-Ebene. Prüfe zunächst, ob die Projektion der Gerade auf die xy-Ebene die Grundfläche schneidet (Antwort: Ja). Die Höhe liegt auf der y Achse von 0 bis 12. Prüfe dann, ob die Projektion der Gerade auf die xz-Ebene die z-Achse zwischen 0 und 12 schneidet (Antwort: Ja). Die Gerade schneidet die Pyramide.