Aloha :)
Hier hilft uns die Kettenregel weiter. Wir beginnen mit der Ableitung der Wurzelfunktion. Wegen [x]′=2x1 haben wir im ersten Schritt:
r′=[2ϕ+cos2(2ϕ+π/4)]′==a¨ußere A.22ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅=innere A.[2ϕ+cos2(2ϕ+π/4)]′Auf die verbliebene Ableitung wenden wir die Summenregel anr′=22ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅(2+[cos2(2ϕ+π/4)]′)und wenden mit [x2]′=2x die Kettenregel ein zweites Mal an:
r′=22ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅⎝⎛2+=a¨ußere A.2cos(2ϕ+π/4)⋅=innere A.[cos(2ϕ+π/4)]′⎠⎞
und mit [cosx]′=−sinx auch noch ein drittes Mal:
r′=22ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅⎝⎛2+2cos(2ϕ+π/4)⋅=a¨ußere A.(−sin(2ϕ+π/4))=innere A.[2ϕ+π/4]′⎠⎞
Die letzte Ableitung erhalten wir mit der Faktorregel, sodassr′=22ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅(2+2cos(2ϕ+π/4)⋅(−sin(2ϕ+π/4))⋅2)Das kann man noch zusammenfassen:r′=22ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅(2−4cos(2ϕ+π/4)sin(2ϕ+π/4))
Mit ein wenig Trigonometrie-Gymnastik:
sin(x+4π)cos(x+4π)=21sin(2x+2π)=21cos(2x)=21(cos2x−sin2x)
vereinfachen wir weiter
r′=22ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅(2−2(cos2(2ϕ)−sin2(2ϕ))
r′=2ϕ+cos2(2ϕ+π/4)1⋅(1−cos2(2ϕ)+sin2(2ϕ))
und erhalten mit sin2x+cos2x=1 bzw. 1−cos2x=sin2x das Ergebnis
r′=2ϕ+cos2(2ϕ+π/4)2sin2(2ϕ)