Ableitung Wurzel Kosinus im Quadrat

Question

Aufgabe:

$$r=\sqrt{2*Φ+cos^2(2*Φ+π/4})$$

Ergebnis:

$$r'(Φ)=\frac{2*sin^2(2*Φ)}{\sqrt{2*Φ+cos^2(2*Φ+π/4)}}/$$

Problem/Ansatz:

Leider habe ich schon länger an dieser Funktion rumprobiert, jedoch kam ich nie auf das richtige Ergebnis.

Versteht da jemand die genaue Vorgehensweise der Ableitung?

Danke für die Hilfe!

Comments

√(term) = (term)^(1/2)

Ableitung: 1/2*(term)^(-1/2)* (term)'

cos²(a*x) wird abgeleitet zu 2*cos(ax)*(-sin(ax))*a

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft uns die Kettenregel weiter. Wir beginnen mit der Ableitung der Wurzelfunktion. Wegen $[\sqrt x]'=\frac{1}{2\sqrt x}$ haben wir im ersten Schritt:

$$r'=\left[\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}\right]'=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}}_{=\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\left[2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)\right]'}_{=\text{innere A.}}$$Auf die verbliebene Ableitung wenden wir die Summenregel an$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+\left[\cos^2(2\phi+\pi/4)\right]'\right)$$und wenden mit $[x^2]'=2x$ die Kettenregel ein zweites Mal an:

$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+\underbrace{2\cos(2\phi+\pi/4)}_{=\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\left[\cos(2\phi+\pi/4)\right]'}_{=\text{innere A.}}\right)$$

und mit $[\cos x]'=-\sin x$ auch noch ein drittes Mal:

$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+2\cos(2\phi+\pi/4)\cdot\underbrace{\left(-\sin(2\phi+\pi/4)\right)}_{=\text{äußere A.}}\,\underbrace{\left[2\phi+\pi/4\right]'}_{=\text{innere A.}}\right)$$

Die letzte Ableitung erhalten wir mit der Faktorregel, sodass$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2+2\cos(2\phi+\pi/4)\cdot\left(-\sin(2\phi+\pi/4)\right)\cdot2\right)$$Das kann man noch zusammenfassen:$$r'=\frac{1}{2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(2-4\cos(2\phi+\pi/4)\sin(2\phi+\pi/4)\right)$$

Mit ein wenig Trigonometrie-Gymnastik:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1}{2}\left(\cos^2x-\sin^2x\right)$$

vereinfachen wir weiter

$$r'=\frac{1}{\cancel2\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(\cancel2-\cancel2(\cos^2(2\phi)-\sin^2(2\phi)\right)$$

$$r'=\frac{1}{\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}\cdot\left(1-\cos^2(2\phi)+\sin^2(2\phi)\right)$$

und erhalten mit $\sin^2x+\cos^2x=1$ bzw. $1-\cos^2x=\sin^2x$ das Ergebnis

$$r'=\frac{2\sin^2(2\phi)}{\sqrt{2\phi+\cos^2(2\phi+\pi/4)}}$$

Comments

Vielen Dank - jetzt habe ich es endlich.

Tatsächlich scheiterte es nur an dem  nicht erkannten Additionstheorem - leider habe ich da noch keine gute Zusammenfassung.

VG