Die e-Funktion wächst stärker als jede Potenzfunktion

Question

Liebe Lounge,

ich habe eine Frage zur Aussagen "Die e-Funktion wächst stärker als jede andere Funktion".

Wenn man sich mal die Funktion f anschaut, mit f(x)= e^x-x^5

Dann gilt ja für x-->+∞:  e^x --> +∞ und x^5--> - ∞...

Jetzt ist es irgendwie einleuchtend, dass f(x) → +∞ strebt. Kann man das mathematisch zeigen?

Ich würde es so machen: f(x) e^x(1-x^5/e^x). Die Frage ist jetzt aber, wie man zeigen kann, dass x^5/e^x gegen 0 strebt, für x --> +∞.

Beste Grüße

Kombi

Answer 1

$$\lim\limits_{x\to\infty} x^5/e^x=\lim\limits_{x\to\infty} 5x^4/e^x=$$$$\lim\limits_{x\to\infty} 4*5x^3/e^x=\lim\limits_{x\to\infty} 3*4*5x^2/e^x=$$$$\lim\limits_{x\to\infty}2* 3*4*5x/e^x=\lim\limits_{x\to\infty} 5!/e^x=$$$$\lim\limits_{x\to\infty} 120/e^x →0$$

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_L%E2%80%99Hospital