ein unternehmen weist folgende produktionsfunktion auf f(k,l)= K*L3. der preis für eine einheit kapital...

Question

Aufgabe:
ein unternehmen weist folgende produktionsfunktion auf f(k,l)= K*L³. der preis für eine einheit kapital beträgt pk=5 und der preis für eine einheit arbeit beträgt pl=4. minimieren sie die kosten des unternehmers unter berücksichtigung seiner produktionsfunktion, wenn ein output von 760 me produziert werden soll. wie hoch sind in diesem fall die minimalen kosten?

…

Problem/Ansatz: Hallo, kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen? Ich komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis... Danke & Grüße

Answer 1

Wo liegen denn genau die Schwierigkeiten.

Hier kann man bereits die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen um zu einer Zielfunktion zu kommen. Du kannst es auch mit Lagrange machen.

Hier eine Kontroll-Lösung

Comments

was ist das welches Programm?

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https://www.wolframalpha.com/

Ideal für Studenten. Ich wäre froh, wenn es das schon zu meiner Studienzeit gegeben hätte.

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wie haben Sie das auf Wolframalpha eingegeben?

Answer 2

Aloha :)

Da du die richtige Lösung ja bereits kanntest, hat dir vermutlich die bisherige Antwort nicht wirklich weitergeholfen, denn WolframAlpha liefert keinen Rechenweg. Das möchte ich nachholen.

Wir sollen die Kosten $C(K,L)$ unter einer Nebenbedingung $g(K,L)$ optimieren:$$C(K,L)=5K+4L\quad;\quad g(K,L)=K\,L^3-760\stackrel!=0$$

Nach Lagrange müssen im Extremum die beiden Gradienten parallel oder anti-parallel zueinander stehen. Der Proportionalitäts-Faktor $\lambda$ ist der sog. Langrange-Multiplikator.$$\operatorname{grad} C(K,L)=\lambda\,\operatorname{grad} g(K,L)\quad\Rightarrow\quad\binom{5}{4}=\lambda\binom{L^3}{3KL^2}$$Das liefert uns zwei Gleichungen:$$5=\lambda\,L^3\quad;\quad 4=\lambda\,3KL^2$$die wir dividieren können, um $\lambda$ loszuwerden:$$\frac{5}{4}=\frac{\lambda\,L^3}{\lambda\,3KL^2}=\frac{L}{3K}\implies L=\frac{15}{4}K$$

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:

$$0=g\left(K,\frac{15}{4}K\right)=K\left(\frac{15}{4}K\right)^3-760=\frac{15^3}{4^3}K^4-760$$$$\implies K=\sqrt[4]{760\cdot\frac{4^3}{15^3}}\approx1,948408\quad;\quad L=\frac{15}{4}K\approx7,306531$$

Die minimalen Produktionskosten sind daher:$$C_{\text{min}}=5K+4L=5K+4\cdot\frac{15}{4}K=20K=38,97$$