Hallo,
y"'+2y"+2y'+y=t
-->homog.Gleichung:
y"'+2y"+2y'+y=0
Ansatz:y(t)= e^(λt) , 3Mal ableiten und in die DGL einsetzen:
-Charakt. Gleichung:
λ3+2λ2+2λ+1=0 --->Faktorisierung durch Polynomdivison oder Horner Schema ,Raten der 1. Nullstelle -1
(λ+1)(λ2 +λ+1)=0
λ1 = -1 --->y1(t)=C1 e^(-t)
λ2.3 = -1/2 ± (√3)/2 *i
-->
y2.3 =C2e−t/2cos(23t)+C3e−t/2sin(23t)
->Tabelle
https://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung…
yh=y1 +y2.3
Ansatz part. Lösung:
yp= A+B t
yp' =B
yp'' =0
yp'''=0
Einsetzen von yp,yp',yp'',yp''' in die DGL
-->
yp=t -2
y=yh+yp
y(t)=c3e−t+c1e−t/2sin(23t)+c2e−t/2cos(23t)+t−2
->Einsetzen der AWB:
y(0)=y'(0)=y"(0)=0
------>
Lösung:
y(t)=t+e−t+3e−t/2sin(23t)+e−t/2cos(23t)−2