0 Daumen
1,3k Aufrufe

Ich bräuchte bitte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß, dass man f(a)-f(b) verwenden kann, aber ich weiß dann einfach nicht weiter.


Sei g : RR g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} eine Funktion, die an der Stelle a a stetig ist. Weiter sei h : RR h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} eine beschränkte (aber nicht notwendigerweise stetige) Funktion. Wir definieren eine neue Funktion f : RR f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} durch
f(x) : =h(x)(g(x)g(a)) fu¨r alle xRf(x):=h(x)(g(x)-g(a)) \quad \text { für alle } x \in \mathbb{R}
Zeige, dass f f an der Stelle a a stetig ist.

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: Stetigkeit an einer Stelle

Stichworte: stetigkeit,funktion,analysis

Hey mir fehlt der Ansatz für folgende Aufgabe. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen :)


Sei g : R → R eine Funktion, die an der Stelle a
stetig ist. Weiter sei h : R → R eine beschränkte (aber nicht notwendigerweise
stetige) Funktion. Wir definieren eine neue Funktion f : R → R durch

f(x) := h(x)(g(x) − g(a)) für alle x ∈ R.

Zeigen Sie, dass f an der Stelle a stetig ist.

@Lesia: Ist im Original die Frage schon vollständig und richtig gestellt, oder soll deiner Text der Nachfrage dort ergänzt werden?

Ist https://www.mathelounge.de/773174/zeigen-sie-dass-f-an-der-stelle-a-… das Original?

2 Antworten

0 Daumen

Hallo

f(a)=0 also musst du nur zeigen dass  es  zu jedem ε ein delta gibt so dass  |f(a+delta)-0|<ε

dabei benutzen es gibt ein M mit h(x)<=m für alle x

lul

Avatar von 108 k 🚀
0 Daumen

Was ist zu zeigen?

f : RRf: \mathbb{R}\to \mathbb{R} ist genau dann stetig in aRa\in \mathbb{R}, wenn es zu jedem ε>0\varepsilon >0 ein δ>0\delta >0 gibt, so dass f(x)f(a)<ε|f(x)-f(a)|<\varepsilon für alle aRa\in \mathbb{R} mit xa<δ|x-a|<\delta .

Was wissen wir?

hh heißt beschränkt, wenn es ein LR+L\in \mathbb{R}^+ gibt, so dass h(x)L|h(x)|\leq L für alle xRx\in \mathbb{R}.

gg ist stetig in aa, d. h. ε\forall \varepsilon δ1>0\exists \delta_1 >0, so dass xa<δ1g(x)g(a)<ε|x-a|<\delta_1 \Rightarrow |g(x)-g(a)|<\varepsilon

Let's go:

f(x)f(a)=h(x)(g(x)g(a))h(a)(g(a)g(a)=h(x)(g(x)g(a))Lg(x)g(a) \begin{aligned} |f(x)-f(a)| & =|h(x)(g(x)-g(a))-h(a)(g(a)-g(a)|= |h(x)(g(x)-g(a))| \\ & \leq L|g(x)-g(a)|\\ \end{aligned}

Was weißt du über g(x)g(a)|g(x)-g(a)|?

Avatar von 28 k

.. das < ε1 gilt und somit ist g stetig in a oder?

Der Index bei ∈1 in der Antwort macht wohl keinen Sinn.

Ja, sollte für δ\delta sein.

@Matheguru99:

Wie wählst du δ\delta?

Ich habe leider gerade keine Ahnung.

Muss ich nicht auch noch nachweisen, dass g eine Nullfolge ist?

Bzw. wie lautet das jetzt mit δ\delta?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage