h(x) = g(x)(f(x) - f(a)) Zeigen Sie, dass auch h an der Stelle a stetig ist.

Question

Aufgabe: (3 Punkte).

Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion, die an der Stelle a ∈ ℝ stetig ist.
Weiter seien g : ℝ → ℝ eine beschränkte Funktion und

h(x) = g(x)(f(x) - f(a)) ∀x ∈ R.

Zeigen Sie, dass auch h an der Stelle a stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe, aber ich hätte einfach a eingesetzt und bekomme 0 raus. Habe aber keine Ahnung was mir das jetzt sagt über die Stetigkeit? Und außerdem denke ich das ich die Aussage das g Beschränkt ist noch irgendwie verwenden müsste. Gib ja schließlich auch 3 Punkte die Aufgabe.

h(a) = g(a)(f(a) - f(a)) = g(a) * 0 = 0

Comments

Du solltest die Epsilon-/Delta-Definition der Stetigkeit verwenden.
Dann siehst du auch, wo die Beschränktheit von g ins Spiel kommt.

Answer 1

Du musst zeigen das zu jedem \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, s.d. \( | h(x) - h(a) | < \epsilon \) falls \( | x - a | < \delta \) gilt.

Jetzt gilt $$ | h(x) -h(a)| = | g(x) ( f(x)-f(a) ) - g(a) ( f(a) - f(a) ) | = | g(x) ( f(x) - f(a) ) | \le M | f(x) - f(a) | $$

Da \( f(\cdot) \) aber stetig in \( a \) ist, existiet zu \( \epsilon' = \frac{\epsilon}{M} > 0 \) ein \( \delta' > 0 \) mit $$ | f(x) -f(a) | < \epsilon' $$ falls \( | x-a| < \delta' \) gilt.

Damit ergibt sich $$ | h(x) - h(a) | < M \frac{\epsilon}{M} = \epsilon $$ für \( |x-a| < \delta' = \delta \)

Comments

Danke für die Antwort. Ich verstehe nur nicht ganz was das M ist und wo ich das hernehme?

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\( M \) ist die obere Schranke der Funktion \( f(x) \), die ja existiert, da \( f(x) \) ja beschränkt ist.