\lim\limits_{x\to\0} f(x) = 1 wenn ich für x 0 setzte dann ist alles null?

Question

Aufgabe:

Warum ist der Grenzwert von f(x) = sinx /x

\( \lim \limits_{x \to 0} f(x) = 1 \) wenn ich für x 0 setzte dann ist alles null? somit müsste def Grenzwert auch 0 sein?

Answer 1

f(x) = sinx /x

x geht gegen 0
sin ( 0 ) = 0
0 / 0 Fall für l´Hospital
( sinx ) ´/ x ´
cos(x) / 1

cos(0) / 1
1 / 1 = 1

lim x -> 0 [ sin x / x ] = 1

Answer 2

Aloha :)

Das ist die sogenannte Sinc-Funktion, die ist bei der Datenübertragung sehr wichtig. Da Zähler und Nenner beide unabhängig voneinander gegen \(0\) konvergieren, kannst du die Regel von L'Hospital anwenden und Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=\frac{\cos 0}{1}=1$$