Aloha :)
Vielleicht hilft die folgende Umformung:$$f(x)=x-x^2=\left(x-x^2-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=\underline{-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}$$Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(\frac{1}{2}|\frac{1}{4})\).
~plot~ x-x^2 ; x=0,5 ; [[-0,1|1,1|-0,1|0,3]] ~plot~
Es gibt daher zwei Intervalle \([0|0,5]\) und \([0,5|1]\), in denen die Funktion streng monoton ist. Außerdem wird in diesen Intervallen jeder Funktionswert höchstens einmal angenommen. In diesen beiden Intervallen ist die Funktion bijektiv.
Damit hast du nun 2 bijektive Funktionen im Intervall \([0|1]\):
$$g:\left[0\,\left|\,\frac{1}{2}\right.\right]\to\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\;;\;g(x)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$$$$h:\left[\left.\frac{1}{2}\,\right|\,1\right]\to\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\;;\;h(x)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$$
Ich zeige die Injektivität und Surjektiv für \(g\), dann solltest du es für \(h\) analog machen können.
1) \(g\) ist injektiv
Wir nehmen an, es gibt zwei Werte \(a,b\in\left[0\,\left|\,\frac{1}{2}\right.\right]\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild aus der Zielmenge \(\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\) haben:
$$f(a)=f(b)\implies-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}=-\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\implies\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2$$$$\implies\left(a-\frac{1}{2}\right)=\pm\left(b-\frac{1}{2}\right)=\pm b\mp\frac{1}{2}\implies a=\frac{1}{2}\pm b\mp\frac{1}{2}=\left\{\begin{array}{c}b\\1-b\end{array}\right.$$Da nach Voraussetzung \(0\le a,b\le\frac{1}{2}\) scheidet die Lösung \((1-b)\) aus und es muss \(a=b\) gelten. Damit gibt es keine 2 verschiedenen Argumente, die auf denselben Wert abbilden. Die Funktion ist injektiv.
2) \(g\) ist surjektiv
Wir wählen einen Wert \(y\in\left[0\,\left|\,\frac{1}{4}\right.\right]\) aus der Zielmenge beliebig aber fest und schauen, ob es dafür ein \(x\in\left[0\,\left|\,\frac{1}{2}\right.\right]\) aus der Definitionsmenge gibt, das auf dieses \(y\) abbildet.
$$\left.y=f(x)\quad\right|\quad\text{einsetzen}$$$$\left.y=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\quad\right|\quad-\frac{1}{4}$$$$\left.y-\frac{1}{4}=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\quad\right|\quad\cdot(-1)$$$$\left.\frac{1}{4}-y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{\frac{1}{4}-y}=x-\frac{1}{2}\quad\right|\quad+\frac{1}{2}$$$$\left.x=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}-y}\quad\right.$$Der Wert mit dem negativen Vorzeichen vor der Wurzel liegt im Definitionsbereich von \(g\), der Wert mit der postiven Wurzel liegt außerhalb. Damit haben wir ein \(x\) gefunden, das auf das frei gewählte \(y\) abbildet. Die Funktion ist surjektiv.
