Parameterdarstellung einer Ebene aufstellen

Question

Aufgabe

Gebe eine Parameterdarstellung einer Ebene an,

a) die durch x1 und x2 aufgespannt wird

b) die durch P(3|1|2) verläuft und parallel zu x1,x3-koordinatenebene ist.

c) die parallel zu x3,x2-koordinatenebene ist
Problem/Ansatz:

Wie geht man vor, wenn man eine Parameterdarstellung einer Ebene aufstellt, die parallel zu einer anderen Koordinatenebene ist.

Answer 1

Aloha :)

a) Wir brauchen einen beliebigen Punkt der Ebene und 2 Richtungsvektoren. Die \(x_1\)-Achse liefert den Richtungsvektor \((1;0;0)\) und die \(x_2\)-Achse liefert den Richtungsvektor \((0;1;0)\). Ein Aufpunkt ist bei Teil a) nicht angegeben, daher wählen wir einen beliebigen Punkt, etwa \((a_1;a_2;a_3)\).$$E_a:\;\vec x=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

b) Jetzt haben wir den Aufpunkt \((3;1;2)\) gegeben. Die \(x_1\)-Achse liefert wieder den Richtungsvektor \((1;0;0)\) und die \(x_3\)-Achse liefert den Richtungsvektor \((0;0;1)\):$$E_b:\;\vec x=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

c) Hier fehlt wie in a) die Angabe eines Aufpunktes, wir wählen wieder einen beliebigen Punkt, etwa \((a_1;a_2;a_3)\) gegeben. Die \(x_2\)-Achse liefert wieder den Richtungsvektor \((0;1;0)\) und die \(x_3\)-Achse liefert den Richtungsvektor \((0;0;1)\):$$E_c:\;\vec x=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Answer 2

a)

$$P(r;s)= P(x_0; y_0; z_0)+r*(1;0;0)+s*(0;1;0)$$

b)

$$P(r;t)=P(3;1;2)+r*(1;0;0)+t*(0;0;1)$$

c)

$$P(s;t)=P(x_0;y_0;z_0)+s*(0;1;0)+t*(0;0;1)$$

Comments

Wie geht man vor?