Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ* gilt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion (Induktionsanfang, Induktions Hypothese, Induktionsschritt), dass für alle

n ∈ ℕ* gilt: wenn A₁, . . . , A_n und B₁, . . . , B_n Mengen sind, die A_j ⊆ B_j für alle 1 ≤ j ≤ n erfüllen dann gilt:

\( \bigcap_{j=1}^{n} A_{j} \subseteq \bigcap_{j=1}^{n} B_{j} \)

Problem/Ansatz:

Ich bin leider etwas mit der Aufgabe überfordert, eine Lösung mit allen Rechenschritten und Erklärungen wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Hallo,

Der Induktionsanfang mit \(n=1\) ist trivial$$A_1 \subseteq B_1 \implies \bigcap_{j=1}^{1} A_j \subseteq \bigcap_{j=1}^1 B_j \space \checkmark $$Die Induktionshypothese ist also$$A_j \subseteq B_j \implies \bigcap_{j=1}^{n} A_j \subseteq \bigcap_{j=1}^n B_j $$und für \(n=1\) wurde das bereits gezeigt. Beim Schritt von \(n\) nach \(n+1\) nutze ich aus, das allgemein gilt:$$X \subseteq Y \Leftrightarrow X \cap Y = X$$Ich beginne mit der Schnittmenge aller \(A_j\)$$\begin{aligned} \bigcap_{j=1}^{n+1} A_j &= \bigcap_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1} \\ &= \left( \bigcap_{j=1}^{n} A_j \cap \bigcap_{j=1}^{n} B_j\right) \cap \left( A_{n+1} \cap B_{n+1}\right) &&|\, \text{lt. Voraussetzung}\\ &= \bigcap_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1} \cap \bigcap_{j=1}^{n} B_j \cap B_{n+1} \\ &= \bigcap_{j=1}^{n+1} A_j \cap \bigcap_{j=1}^{n+1} B_j \\ &\implies \bigcap_{j=1}^{n+1} A_j \subseteq \bigcap_{j=1}^{n+1} B_j \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$