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Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über n n , dass

limxxnex=0 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{\mathrm{e}^{x}}=0

für jedes nN n \in \mathbb{N} gilt.


L'Hospital darf verwendet werden.

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L'Hospital anwenden und die Induktionsvoraussetzung benutzen

Das habe ich gemacht und nun steht da ((n+1)*xn)/ex

Wie komm ich da jetzt weiter? Ich habe in Erinnerung das man irgend etwas umformen musste bis man auf die InduktionsVoraussetzung(?) kommt?

Naja du weisst ja das xn/ex -> 0 (deine I.V) der Faktor (n+1) ändert da nichts dran :)

1 Antwort

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So dann mal ran:

Du willst zeigen, wenn xnex0 \frac{x^n}{e^x} \to 0 dann gilt auch xn+1ex0 \frac{x^{n+1}}{e^x}\to 0 für x x \to \infty.

Mit L'Hospital und deiner I.V. zeigst du nun (hast du ja schon teilweise)

limxxn+1ex=limx(n+1)xnex=(n+1)limxxnex=(n+1)0=0 \lim \limits_{x\to \infty} \frac{x^{n+1}}{e^x}=\lim \limits_{x\to \infty}(n+1)\cdot \frac{x^n}{e^x}= (n+1) \cdot \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = (n+1)\cdot 0 = 0

Den Faktor (n+1) kannst du aus dem Grenzwert rausziehen, da dieser

a) nicht von n abhängt und

b) limxxnex \lim \limits_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x} existiert (nach IV).

Gruß

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