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Aufgabe:

berechne die Nullstellen, Extrempunkte und Wendestelle dieser Funktion: y= cos (x) + sin (2x)


Problem/Ansatz:

die 1. Ableitung hab ich schon gebildet:

2* cos (x) - sin (x)

2. Ableitung: 4 * -sin (2x) - cos (x)


stimmen die soweit?

dann die Nullstelle: cos (x) + sin (2x) = 0

ab da komm ich nicht mehr weiter...


kann mir bitte jemand helfen? wenns geht mit erklärungen. :)

von

Die erste Ableitung ist falsch.

Richtig ist

f'(x)=2* cos (2x) - sin (x)

ach ja genau ich hab mich vertippt in der Frage, hab die gleiche Ableitung wie du. :)

Deine 2. Ableitung stimmt nämlich wieder.

wie stelle ich die 1. Ableitung nach x um?

2 * cos (2x) - sin (x) = 0 ??

Willst Du die 1. Ableitung nach x umstellen (wie geschrieben) oder suchst Du die Nullstellen (weil nur dann das = 0 Sinn machen würde)?

Ich möchte sie Umstellen nach x, um dann die Extrempunkte zu berechnen. :)

Da ich ja dann das x in die 2. Ableitung setzte ...

Ist Dir klar, dass es unendlich viele sind, weil die Funktion periodisch ist?


Die erste Ableitung hat Nullstellen bei

blob.png

oh... ich dachte, dass ich das in einem Intervall von z.B. [-5;5] machen kann ....

Dann hast Du entweder die Aufgabenstellung nicht vollständig abgeschrieben, oder etwas gedacht was nicht dort drin steht.

ja letzteres hab ich gemacht ... probier es aber jetzt richtig zu lösen. :)

4 Antworten

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1. Ableitung 2· cos (2x) - sin (x)

2. Ableitung: -4 ·sin (2x) - cos (x)

Für die Nullstellen so ersetzen (Formelsammlung), dass nur noch eine Winkelfunktion mit nur noch einem Winkelargument erscheint. Diese dann durch z ersetzen, Gleichung nach z auflösen und resubstituieren.

von 90 k 🚀
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Nullstellen

$$f(x)= cos (x) + sin (2x)$$$$f(x)=cos (x) +2 sin (x) cos (x)$$$$f(x)=cos (x)* ( 1+ 2 sin (x))=0$$$$ cos (x)=0→x_i=(0,5+ i)π$$oder$$sin(x) =-0,5→x_j=(2j-1/6)π$$$$sin(x) =-0,5→x_k=(2k-5/6)π$$

Extremwerte

$$f'(x)= 2 cos (2x) - sin (x)$$$$f'(x)= 2( cos^2 (x) - sin^2 (x))- sin (x)$$$$f'(x)= 2( 1 - 2sin^2 (x))- sin (x)$$$$f'(x)= - 4sin^2 (x)- sin (x)+2=0$$$$ sin^2 (x)+1/4 sin (x)-1/2=0$$$$sin(x)_1=1/8+ \sqrt{\frac{33}{64}}≈0,84307$$$$x_1i≈1,003+2iπ$$$$sin(x)_2=1/8- \sqrt{\frac{33}{64}}≈-0,59307 $$$$x_2i≈2iπ-0,6348$$

von 9,5 k
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Nullstellen:

cos(x)+ sin(2x) = cos(x)+2*sin(x)*cos(x) =0

cos(x)*(1+2sin(x)) =0

Satz vom Nullprodukt:

cos(x)=0

x= pi/2+k*pi , k∈Z

1+2sin(x)=0

sin(x)= -1/2

x= -pi/6+2k*pi k∈N

von 48 k

x= -pi/6+2k*pi k∈N

Das führt zum Ergebnis.

dachte ich erst auch, doch wir haben da noch was vergessen.

x= -pi5/6+2k*pi k∈N

Doch das führt auch zum Ergebnis.

Jedesmal ist sin(x) = - 0,5

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Hallo,

f(x)= cos(x)+ sin(2x) = cos(x) + 2sin(x)cos(x) = cos(x)(1+2sin(x))

Die Funktion hat die Periode 2π, es reicht also die Nullstellen,Extremstellen etc. auf dem Intervall [0,2π] zu berechnen.

Nullstellen:

cos(x)(1+2sin(x))=0

---> cos(x)= 0 → x_1 = π

oder 1+2sin(x)= 0 → x_2 = 7/6 π ,

x_3 = 11/6 π

von 37 k

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