Nullstellen, Extrempunkte und Wendestelle von cos (x) + sin (2x)

Question

Aufgabe:

berechne die Nullstellen, Extrempunkte und Wendestelle dieser Funktion: y= cos (x) + sin (2x)

Problem/Ansatz:

die 1. Ableitung hab ich schon gebildet:

2* cos (x) - sin (x)

2. Ableitung: 4 * -sin (2x) - cos (x)

stimmen die soweit?

dann die Nullstelle: cos (x) + sin (2x) = 0

ab da komm ich nicht mehr weiter...

kann mir bitte jemand helfen? wenns geht mit erklärungen. :)

Comments

Die erste Ableitung ist falsch.

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Richtig ist

f'(x)=2* cos (2x) - sin (x)

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ach ja genau ich hab mich vertippt in der Frage, hab die gleiche Ableitung wie du. :)

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Deine 2. Ableitung stimmt nämlich wieder.

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wie stelle ich die 1. Ableitung nach x um?

2 * cos (2x) - sin (x) = 0 ??

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Willst Du die 1. Ableitung nach x umstellen (wie geschrieben) oder suchst Du die Nullstellen (weil nur dann das = 0 Sinn machen würde)?

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Ich möchte sie Umstellen nach x, um dann die Extrempunkte zu berechnen. :)

Da ich ja dann das x in die 2. Ableitung setzte ...

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Ist Dir klar, dass es unendlich viele sind, weil die Funktion periodisch ist?

Die erste Ableitung hat Nullstellen bei

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oh... ich dachte, dass ich das in einem Intervall von z.B. [-5;5] machen kann ....

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Dann hast Du entweder die Aufgabenstellung nicht vollständig abgeschrieben, oder etwas gedacht was nicht dort drin steht.

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ja letzteres hab ich gemacht ... probier es aber jetzt richtig zu lösen. :)

Answer 1

1. Ableitung 2· cos (2x) - sin (x)

2. Ableitung: -4 ·sin (2x) - cos (x)

Für die Nullstellen so ersetzen (Formelsammlung), dass nur noch eine Winkelfunktion mit nur noch einem Winkelargument erscheint. Diese dann durch z ersetzen, Gleichung nach z auflösen und resubstituieren.

Answer 2

Nullstellen

$$f(x)= cos (x) + sin (2x)$$$$f(x)=cos (x) +2 sin (x) cos (x)$$$$f(x)=cos (x)* ( 1+ 2 sin (x))=0$$$$ cos (x)=0→x_i=(0,5+ i)π$$oder$$sin(x) =-0,5→x_j=(2j-1/6)π$$$$sin(x) =-0,5→x_k=(2k-5/6)π$$

Extremwerte

$$f'(x)= 2 cos (2x) - sin (x)$$$$f'(x)= 2( cos^2 (x) - sin^2 (x))- sin (x)$$$$f'(x)= 2( 1 - 2sin^2 (x))- sin (x)$$$$f'(x)= - 4sin^2 (x)- sin (x)+2=0$$$$ sin^2 (x)+1/4 sin (x)-1/2=0$$$$sin(x)_1=1/8+ \sqrt{\frac{33}{64}}≈0,84307$$$$x_1i≈1,003+2iπ$$$$sin(x)_2=1/8- \sqrt{\frac{33}{64}}≈-0,59307 $$$$x_2i≈2iπ-0,6348$$

Answer 3

Nullstellen:

cos(x)+ sin(2x) = cos(x)+2*sin(x)*cos(x) =0

cos(x)*(1+2sin(x)) =0

Satz vom Nullprodukt:

cos(x)=0

x= pi/2+k*pi , k∈Z

1+2sin(x)=0

sin(x)= -1/2

x= -pi/6+2k*pi k∈N

Comments

x= -pi/6+2k*pi k∈N

Das führt zum Ergebnis.

dachte ich erst auch, doch wir haben da noch was vergessen.

x= -pi5/6+2k*pi k∈N

Doch das führt auch zum Ergebnis.

Jedesmal ist sin(x) = - 0,5

Answer 4

Hallo,

f(x)= cos(x)+ sin(2x) = cos(x) + 2sin(x)cos(x) = cos(x)(1+2sin(x))

Die Funktion hat die Periode 2π, es reicht also die Nullstellen,Extremstellen etc. auf dem Intervall [0,2π] zu berechnen.

Nullstellen:

cos(x)(1+2sin(x))=0

---> cos(x)= 0 → x_1 = π

oder 1+2sin(x)= 0 → x_2 = 7/6 π ,

x_3 = 11/6 π