Zeigen Sie: f (X) \ f (A) ⊆ f (X \ A)

Question

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Ich habe Probleme meine folgende Hausübung zu lösen:
Seien X, Y Mengen, f : X → Y eine Abbildung und A ⊆ X.
a) Zeigen Sie: f (X) \ f (A) ⊆ f (X \ A)

B) Geben Sie ein Gegenbeispiel an, um zu zeigen, dass die folgende Behauptung im Allgmeinen nicht gil: f (X \ A) ⊆ f (X) \ (A)
Über eine Lösung der beiden Aufgaben wäre ich sehr dankbar. Da ich die dazugehörige Vorlesung nicht besuchen konnte, konnte ich nicht einmal Ansätze bilden.

Answer 1

f (X) \ f (A) ⊆ f (X \ A)  

Sei y∈f (X) \ f (A)  ==>   y ∈f (X) und y∉f (A)

==> Es gibt x∈X mit f(x)=y aber es gibt kein a∈A mit f(a)=y

==>    x ∈X \ A

==>   y = f(x) ∈  f (X \ A)   . q.e.d.

An dem Beweis sieht man schon: das geht nur, wenn

f nicht injektiv ist. Also wäre ein Gegenbeispiel etwa

f : [-10;10] → ℝ mit f(x)=x^2 . Also X= [-10;10]

Und A= [0;5] . Dann ist f(A) = [0;25]

und f(X) = [0;100] .

f (X) \ f (A)    =  ] 25 ;100]

f (X \ A) = f( [-10;0[ ∪ ]5;10]) = [0;100] also keine

Teilmenge von ] 25 ;100].

Comments

mathef,

Ich stehe vor der gleichen Aufgabe und verstehe leider dein Gegenbeispiel nicht.
Könntest du ein weiteres Beispiel liefern?
Ginge das alles auch ohne Intervalle?

Lieben Grüß,
Mathekind