Vergleich und Aussagekraft von der Standardabweichung

Question

Liebe Lounge,

ist es korrekt, dass es nur dann sinnvoll ist Standardabweichungen von zwei Verteilungen zu vergleichen (z.B. um zu schauen, ob ein Mittelwert den Datensatz gut repräsentiert), wenn die Daten von der gleichen Art sind?

Ja oder?

Ich meine, man kann nicht sagen, dass z.b. eine Standardabweichung von 10 "schlecht" ist.

Will man z.B. die Standardabweichung einer Notenverteilung von 1-6 vom Mittelwert untersuchen wird diese einen kleineren Wert annehmen, als bspw. die Standardabweichung der zeitlichen Dauer in Minuten von diversen Weltumseglungen.

Demnach würde es nur Sinn ergeben, z.b. zwei oder mehrere Notenverteilungen untereinander zu vergleichen oder mehrere Datensätze von Weltumseglungen untereinander.

Nicht aber Weltumseglung und Notenverteilung.

Passt das so?

Hat die Standardabweichung dann ohne Vergleiche überhaupt eine Aussagekraft?

Danke, der Kombi

Answer 1

Ja. Wenn wir vergleichen dann natürlich zwei ähnliche Verteilungen. Du musst allerdings auch nicht wirklich vergleichen um eine Aussage treffen zu können.

Das Gewicht eines Brötchens aus meiner Hausbäckerei sei Normalverteilt mit einem Durchschnittlichen Gewicht von 50 g.

Was denkst du was würde für eine Standardabweichung dazu passen?

Oder die Angebote einer ähnlichen Italienreise 7 Tage mit Vollpension und Ausflugspaket haben einen Mittelwert von 1000 Euro. Was denkst du, welche Standardabweichung würde dazu passen?

Comments

Hmm. Weiß nicht ...

Brötchen vielleicht 5, Reise vielleicht 200€?

Aber wie kommt man darauf exakt?

Weil das wirkt ja jetzt sehr willkürlich

---

Aber wie kommt man darauf exakt?

Es gibt hier kein exakten Wert. Das hängt ja von der Produktion ab. Das ist also eher etwas was du schätzen solltest. Bei einer Normalverteilung befinden sich etwa 95% der Werte innerhalb der einfachen Standardabweichung und etwa 99% der Werte innerhalb der zweifachen Standardabweichung.

Bei Brötchen wäre eine Standardabweichung von 5 schon zu viel. Das würde bei einer Normalverteilung bedeutet das etwa 5% der Bröchen weniger als 40 g oder mehr als 60 g wiegen würden. Und 5% wäre ja schon jedes 20. Brötchen.

Die Standardabweichung liegt da eher in einer Größenordnung von 1 g.

D.h. die Gewichtsverteilung würde eher so aussehen

---

Aber eine Standardabweichung von 5g bedeutet ja nicht, dass die Brötchen im Schnitt um 5g vom Mittelwert abweichen...

Weil man zieht ja die Wurzel aus der durchschnittlichen quadratischen Abweichung...

Das müsste ja irgendeine andere Bedeutung haben.

Oder?

---

Mathecoach? Noch da?

---

Aber eine Standardabweichung von 5g bedeutet ja nicht, dass die Brötchen im Schnitt um 5g vom Mittelwert abweichen...

Richtig. Dazu müsste man die Beträge der Abweichungen nehmen und damit rechnen. Das ist allerdings rechnerisch viel aufwendiger.

Quadratische Abweichungen haben weiterhin den Vorteil das höhere Abweichungen entsprechend mehr ins Gewicht fallen als kleinere Abweichungen.

Das ändert doch aber nichts an der Aussagekraft der Standardabweichung. Und auch nichts daran das man diese auch interpretieren kann.

---

Was ich allerdings nicht verstehe:

Warum definiert man die Standardabweichung nicht als:

\( \sum\limits_{i=1}^{n}{\sqrt{(x_i-m)^2}} \) /n ?

Dann hätte man doch nicht den Betrag, aber es wäre wirklich die mittlere Abweichung vom Mittelwert...

---

Nur weil du jetzt einen Trick verwendest, um nicht den Betrag zu schreiben, bleibt es letztendlich das Gleiche

|x| = √(x^2)

Als Gauss die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelte, geschah dies, weil man mit Quadraten recht einfach rechnen kann, weiterhin kann ein Quadrat auch abgeleitet werden.

Außerdem werden eben bei Beträgen größere Abweichungen nicht stärker gewichtet als kleinere.