diagonale gleichschenkliges Trapez

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Leiten Sie eine Formel zur Bestimmung der Länge der
Diagonalen im gleichschenkligen Trapez anhand der
gegebenen Abbildung rechts her.

Problem/Ansatz:

die Diagonale ist e

Ich habe die Formel wie es am Ende Aussehen soll. Allerdings ist mein Problem wie man darauf kommen soll.
Die Formel: e² = d²+a*c
Ich habe verstanden das man d² genommen hat, da d=b. Außerdem das man irgendwie über den Satz des Pythagoras gegangen ist, obwohl an den jeweiligen Ecken kein rechter Winkel ist.

Answer 1

Ich fälle ein Lot von C auf a. Den Fußpunkt nenne ich L.

Wir haben zwei rechtwinklige Dreiecke LBC und ALC.

LB=(a-c)/2  Kathete

LC=h            Kathete

b                   Hypotenuse

(a-c)^2/4+h^2=b^2

h^2=b^2- (a-c)^2/4     (1)

------

AL=c+(a-c)/2=(a+c)/2

LC=h

e^2=h^2+(a+c)^2/4      (2)

(1) in (2) einsetzen:

e^2=b^2- (a-c)^2/4+(a+c)^2/4

...

Mit b=d → e^2=d^2+ac

Answer 2

Fange an, e aus a und d und α mit dem Kosinussatz zu berechnen.

Da in deiner Formel e² = d²+a*c gar kein cos α vorkommt, müsste es in einem zweiten Schritt möglich sein, cos α mit Hilfe der vorhandenen Längen auszudrücken. Suche nach dieser Möglichkeit und wende sie an.

(Das ist nur ein möglicher Weg. Man kann auch von C aus das Lot auf AB fällen  und mit den so entstehenden rechtwinkligen Dreiecken und etwas Gleichungsakrobatik zum Ziel kommen.)