Aufgabe:
Auf der Menge R^2 definieren wir die Relation
(x,y) ~ (x, y) <--> y = y' und ∃a aus R: x' = x + ay
i) zeigen Sie, dass dies eine Aequivalenzrelation ist
ii) Ist die Menge R^2 / ~ endlich ? Falls ja, zählen Sie die Elemente auf und wenn nicht begründen Sie Ihre Annahme
Problem/Ansatz:
Wäre super wenn mir jemand sagen könnte, ob dies denn so richtig ist.
zu i):
Reflexivität: (x, y) ~ (x, y) ⇔ y = y und x = x + ay. Ist offensichtlich erfüllt, da jedes Element den gleichen Wert wie es selbst besitzt. Also gilt y = y. Sei zusätzlich a = 0 aus R, dann ist auch x = x + 0 erfüllt.
Symmetrie: (x,y) ~ (x', y') ⇔ (x', y') ~ (x, y)
Aus (x,y) ~ (x', y') folgt: y = y' und x' = x + ay. Hieraus folgt: y' = y und x = x' + (-ay) ⇔ (x', y') ~ (x, y) .
Transitivität: Seien (x, y) ~ (x', y') und (x' , y') ~ (x'', y'').
(x,y) ~ (x', y') ⇔ y = y' und x' = x + ay
⇒ x = x' + (-ay).
(x', y') ~ (x'', y'') ⇔y' = y'' und x'' = x' + by'.
⇒ y = y'' und x'' = x + -(ay) + by' ⇒ x'' = x + -(ay) + by, da y = y'.
= x + -y(a + b). Da a + b aus R folgt: (x,y) ~ (x'', y''').
zu ii)
Mit R^2 betrachten wir alle Paare (x,y) mit x,y aus R. Da jedes Paar reflexiv ist und somit die obige Aequivalenzrelation erfüllt, steht jedes Paar aus R^2 in Relation zu sich selbst. Da wir allerdings mit R^2 alle Paare betrachten und auch alle Paare, die Aequivalenzrelation bzgl der Reflexivität erfüllen, folgt das R^2/ ~ = ∅.
Die zweite Aufgabe ist die, bei der ich mir am unsichersten bin ^^.
Danke schonmal, für eure Mühe.
