Hilfe bei Äquivalenzrelation bestimmen

Question

Aufgabe: Äquivalenzrelationen
Problem/Ansatz:

R ⊂ M × M mit
x ∼R y :⇔ (x, y) ∈ R

M = N und R := {(x, y) ∈ M × M : xy ist gerade}

das ich hab schon :

Reflexivität:
$(x, x) \in R$

Symmetrie:
$(x, y) \in R \rightarrow(y, x) \in R$

Transitivität:
$(x, y) \in R,(y, z) \in R \rightarrow(x, z) \in R$

aber wie schaut man nun, ob dies eine um eine Äquivalenzrelation handelt.

Wird bei uns als "vorausgesetztes Wissen" behandelt, hab as aber nie gemacht vor dem Studium.

Answer 1

Servus Franz! Kein Problem, daß sollten wir hinbekommen. Der Schlüssel ist, zu verstehen, was z.B. Reflexivität überhaupt bedeutet. Mach dir das mal an folgender Situation klar: Stell dir mal auf der Menge S={alle Schüler an einer beliebigen Schule} die Relation

$$R=\{(x,y) \in S^2 | x \text{ geht in die selbe Klasse wie } y\}$$

was reflexivität denn hier bedeuten könnte. Bei Fragen: einfach fragen! :)

Comments

Relflexivität bedeutet hier, dass

x in der gleichen Klasse wie x ist

Symmetrie: das x in der gleichen Klasse wie y ist und y in der gleichen Klasse wie x ist

Transitivität: das wenn y und z in der gleichen Klasse sind auch x und z in der gleichen sind

Bedeutet das

M = N und R := {(x, y) ∈ M × M : xy ist gerade}

&quotxy ist gerade" x und y gerade sein sollen, oder x*y gerade sein sollen?

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Schaut schon gut aus. Etwas Kritik hab ich aber noch: WENN x und y in der selben Klasse sind, DANN sind y und x in der selben Klasse. Das ist wirklich ein wesentlicher Unterschied. Denn: niemand behauptet, dass x und y in der selben Klasse sind. Aber falls sie es sind, dann muss auch y und x in der selben Klasse sein.

Die Tansitivität passt noch nicht ganz.

Wichtig bei der Reflexivität: das muss für alle Schüler gelten. Wirklich für alle. Anders formuliert: für alle Elemente in S.

Du hast hier bei deiner Frage die Menge der natürlichen Zahlen. Soll das Ding jetzt Reflexiv sein, muss jedes Paar (x,x) in der Menge R enthalten sein, also für jede natürliche Zahl x muss gelten: x*x ist gerade. Frage an dich ist jetzt: ist das wirklich so?

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Die Idee versteh ich,aber die Umsetzung ist mir völlig unbekannt.

x*x=gerade ist unwahr, z.B.: 3*3=9

GMTY

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Glückwunsch, du hast soeben ein Beispiel gefunden, dass diese Relation nicht reflexiv sein kann :) Denk mal drüber nach. Versuch auch mal die Parallele zur Schulklassen-Relation zu finden. Das wäre dann sowas wie "FÜR ALLE Schüler der Schule gilt: ein Schüler ist in der selben Klasse wie dieser Schüler"