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verstehe die Begründung der Antwort nicht...kann mir jemand helfen die antworten besser zu begründen mit besserem beispiel vielleicht

Kombinationen und Äquivalenzrelationen. Sei M = und A = die Menge aller 3-Kombinationen von M. Für jede 3-Kombination K bezeichnen wir n1 als ... Welche dieser drei Relationen ist eine Äquivalenzrelation und welche nicht?

Gefragt von
auch warum die anderen beiden äquivalenzrelationen sind mit beispiel vielleicht.

danke im voraus

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Bei Äquivalenzrelationen müssen ja Äquivalenzklassen entstehen. Um Elemente von diesen Klassen sind dann untereinander äquivalent. Man kann auch denken 'gleich' für einen bestimmten Zweck' Im Folgenden schreibe ich in Grün gleich. Anstelle von äquivalent. (Nur z Erklärungszwecken) Besser als 'äquivalent' abschreiben.

Gemäss Definition muss Symmetrie, Transitivität und Reflexivität gelten.

1. Refl: Jedes Element einer Klasse ist 'gleich'  sich selbst.

2. Symm: Wenn ein Element 'gleich' ist wie ein anderes, ist auch das andere 'gleich' wie das erste.

3. Trans: Wenn ein Element 'gleich' ist wie das Zweite und das Zweite gleich wie ein Drittes, ist auch das Erste 'gleich' wie das Dritte.

In der Aufgabe geht es nun um geordnete Mengen von 3 verschiedenen Zahlen.

Bei der ersten Relation gilt: 'gleich' wenn das mittlere Element gleich ist. Da entstehen automatisch 98 Äquivalenzklassen, mit den Zahlen 2,3,4,5,6,....,99 in der Mitte.

Bei der dritten Relation ist 'gleich': Das erste und das letzte Element sind gleich. Eine Äquivalenzklasse ist z.B.
(7,8,20);(7,9,20);(7,10,20);…(7,19,20) 

Die Transitivitäsbedingung ist wegen dem 'oder' in der Definition der 2. Relation der Aufgabenstellung nicht erfüllt.
D.h. es genügt nicht zu verlangen, dass das kleinste oder das mittlere Element gleich sind, wenn da eine Klasse entstehen soll. (1,2,3)   und    ( 1,5,7) wären gleich, weil ihr kleinstes Element gleich ist. (1,5,7)  und    (4,5,6) wären gleich, weil ihr mittleres Element gleich ist. Aber bei (1,2,3) und (4.5.6) sind weder das kleinste noch das mittlere Element gleich. Deshalb gemäss der Definition 'ungleich'. Also ist Transitivität verletzt.

 

 

Beantwortet von 142 k
Hi Lu,

für die 3. Relation ≅  wären (1,2,3) und (4.5.6) auch nicht transitiv, weil das maximum auch nicht gleich ist. kannst du mir das erklären bitte.

Danke
für die dritte Relation ist nur äquivalent, was die gleiche kleinste und die gleiche grösste zahl hat.

Du findest da keine Möglichkeit, um in 2 Schritten von 123 auf 456 zu kommen.

123 ist nur äquivalent mit sich selbst.

456 ebenfalls.
Achso,ok

Das gegenbeispiel ist nicht dafür geeignet. ok....danke
+1 Punkt

Du musst hier zwischen Beweis und Gegenbeispiel unterscheiden: willst du die Richtigkeit einer Aussage zeigen, dann musst du eigentlich alle Bedingungen prüfen. Willst du dagegen zeigen, dass sie falsch ist, dann reicht ein einziges Gegenbeispiel aus.

Da hier nach den Beweise nicht gefragt ist, erscheint die Aufgabe vielleicht etwas undurchsichtig, deswegen führe ich sie einfach.

 

Du musst also zeigen, dass die drei Bedingungen für eine Relation o erfüllt sind:

i) Reflexivität: a o a
ii) Symmetrie: a o b ⇔ b o a
iii) Transitivität: a o b und b o c ⇒ a o c

Dann heißt die Relation o Äquivalenzrelation.

 

Zu ~: i) Sei a = (n1, n2, n3) dann gilt: med(a) = n2 und wegen med(a)=med(a) ⇒ a ~ a

ii) Sei a = (n1, n2, n3), b = (m1, m2, m3) und es gelte a ~ b, das heißt: med(a) = med(b) bzw. n2 = m2. Dann gilt auch m2 = n2 bzw. med(b) = med(a) ⇒ b ~ a.
Die Rückrichtung wird analog gezeigt.

iii) Sei a = (n1, n2, n3), b = (m1, m2, m3), c =(k1, k2, k3), und es gelte a ~ b (also n2 = m2) sowie b ~ c (also m2 = k2).
Setzt man nun die beiden Gleichungen gleich ergibt sich n2 = k2 also: a ~ c.

Damit ist ~ eine Äquivalenzrelation.

 

Zu ≈: Wie bereits da steht verstößt ≈ gegen die dritte Bedingung der Transitivität. Dadurch dass die beiden Bedingungen der Relation mit einem "Oder" verbunden sind, muss nur eine erfüllt sein. Dadurch ist es bei drei Elementen möglich, dass zwischen a und b nur die erste Bedingung erfüllt ist und zwischen b und c nur die zweite. Dann gilt zwar a ~ b und b ~ c aber nicht zwangsläufig a ~ c. Ein Gegenbeispiel ist ja genannt.

 

Zu ≅:i) Sei a = (n1, n2, n3), dann gilt: max(a) = n3, min(a)=n1 und wegen min(a)=min(a) sowie max(a)=max(a) folgt a ≅ a.

ii) Sei a = (n1, n2, n3), b = (m1, m2, m3) und es gelte a ≅ b, das heißt n1 = m1 und n3 = m3. Dann gilt auch m1 = n1 und m3 = n3 also: b ≅a.

iii) Sei a = (n1, n2, n3), b = (m1, m2, m3), c =(k1, k2, k3), und es gelte a ≅ b (also n1 = m1 und n3=m3) sowie b ≅ c (also m1 = k1 und m3 = k3). Setzt man die jeweils zusammenpassenden Gleichungen gleich, erhält man n1=k1 und n3=k3 also gilt auch a ≅ c.

Also ist ≅eine Äquivalenzrelation.

Beantwortet von 10 k
Deine Begründüng zu  ≈ habe ich nicht verstanden mit der Transitivität:

Könntest du es vielleicht nochmal erklären.Bitte

 

also wenn ich eine 3. Menge einführe in die relation  ≈  verstehe ich deine Meinung mit dem Oder nicht,

da beim Oder auch eine wahre aussage ergibt wenn beide richtig sind....oder bin ich neben der spur
Nein, das ist schon richtig, aber schau doch mal:

Nimm zum Beispiel an, für dich wären alle grünen Autos gleichwertig. Gleichzeitig sind für dich aber alle Autos von VW gleichwertig.

Mit dieser Unterscheidung erschaffst du keine Äquivalenzrelation, denn es gibt zwar grüne VWs aber nicht jedes grüne Auto ist gleichwertig mit jedem VW.

Das liegt an der Verletzung der Transitivität:

Ein grüner Mercedes ist gleichwertig mit einem grünen VW.

Und ein grüner VW ist gleichwertig mit einem blauen VW, das sind gerade die "Definitionen", die ich oben getroffen habe.

Das bedeutet aber nicht, dass ein grüner Mercedes gleichwertig mit einem blauen VW ist, die beiden lassen sich in unserer Kategorisierung ja überhaupt nicht vergleichen.

Eine letzte Frage.

Für den Lösungsansatz im Bild sind K und K gewählt.

Das sind 2 verschiedene Mengen aber trotzdem wurden {1,5,7} und {1,5,7} gewählt und mit einer UND verknüfung gebunden

das verstehe ich nicht

Das UND im Lösungsansatz ist das UND in der Definition für Transitivität. Links und Rechts von diesem und im Bild stehen Relationen zwischen 2 Elementen, in denen das ODER ausgenützt wird, indem nur eine der beiden Bedingungen (kleinstes oder mittleres Element gleich) erfüllt ist.

Achso, beispielsweise min(K2) bedeutet schon eine Relation zwischen 2 Mengen, oder?

Wenn ja, dann hab ich es schon verstanden.

 Danke im voraus

ok. tönt vernünftig. min(K2) = min(K1)  genügt wegen ODER für Relation. 

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