Linearkombination 2x2 Matrix

Question

Aufgabe:

Gegeben sind 5 Vektoren (sie haben die form einer 2x2 Matrix, die ersten beiden sind die beiden oberen Werte):

M1(2 2 2 1)

M2(-1 -1 0 0)

M3 (-1 -1 -2 0)

M4(2 2 2 -2)

M5(0 1 0 1)

Ich soll aus diesen 5 durch Linearkombination den Vektor M0 (0 -1 0 1) bilden

Problem/Ansatz:

Begonnen habe ich mit der Gleichungsaufstellung :

0 = 2a -b -c+2d

-1 = 2a-b-c+2d+e

0 = 2a-2c+2d

1=a-2d+e

hier sieht man sofort wenn man die erste von r 2 abzieht e = -1 ergibt.

Mein Problem ist nun aber das ich 5 Variablen habe aber nur 4 gleichungen. Ich weiß nicht ob oder wie man eine "künstliche Gleichung " für den 5 erstellen kann oder ob es eine andere Möglichkeit gibt.

Comments

.. ob oder wie man eine "künstliche Gleichung " für den 5 erstellen kann

Ja setze hier die Variable \(d=t\) mit \(t \in \mathbb R\) und nehme an, dass \(t\) bekannt ist. Löse dann die restlichen drei Variablen \(a\), \(b\), und \(c\) mit den Gleichungen oben in Abhängigkeit von \(t\).

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Die bekannten Gleichungen sind:

0= 2a-b-c+2(t)

e= -1

2a-2c+2(t)= 0

a-2(t)-e =1

_______________________________

e wird in die letzte Gleichung eingesetzt

3. wird von der 1 abgerechnet

0 = -b+c

e=-1

2a-2c+2(t)=0

a= 2(t)

_______________

aus der ersten Gleichung ergibt sich

b=c

e=-1

6(t)-2c = 0

a=2(t)

____________

b=c

e=-1

c=3(t)

a=2(t)

ich weiß jetzt leider nciht wie ich von da an weiter machen soll

Answer 1

Aloha :)

Ich würde mir die Matratzen einfach als Vektoren aufscheiben, so wie du sie auch schon angegeben hast:

$$\left(\begin{array}{rr}2 \\ 2\\2 \\ 1\end{array}\right)x_1+\left(\begin{array}{rr}-1 \\ -1\\0 \\ 0\end{array}\right)x_2+\left(\begin{array}{rr}-1 \\ -1\\-2 \\ 0\end{array}\right)x_3+\left(\begin{array}{rr}2 \\ 2\\2 \\ -2\end{array}\right)x_4+\left(\begin{array}{rr}0 \\ 1\\0 \\ 1\end{array}\right)x_5=\left(\begin{array}{rr}0 \\ -1\\0 \\ 1\end{array}\right)$$

Das führt auf das Gleichungssystem:

$$\begin{array}{rrrrrrrl}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & = &&\text{Aktion}\\\hline2 & -1 & -1 & 2 & 0 & 0 && -2\cdot\text{Zeile 4}\\ 2 & -1 & -1 & 2 & 1 & -1 && -2\cdot\text{Zeile 4} \\ 2 & 0 & -2 & 2 & 0 & 0 && -2\cdot\text{Zeile 4}\\1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1&&\\\hline0 & -1 & -1 & 6 & -2 & -2 && \cdot(-1)\\ 0 & -1 & -1 & 6 & -1 & -3 &&-\text{Zeile 1} \\ 0 & 0 & -2 & 6 & -2 & -2 && \\1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1&&\\\hline0 & 1 & 1 & -6 & 2 & 2 && -2\cdot\text{Zeile 2}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 && \\ 0 & 0 & -2 & 6 & -2 & -2 && +2\cdot\text{Zeile 2}\\1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1&& -\text{Zeile 2}\\\hline0 & 1 & 1 & -6 & 0 & 4 && +\frac{1}{2}\cdot\text{Zeile 3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 && \\ 0 & 0 & -2 & 6 & 0 & -4 && :\,(-2) \\1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2&& \\\hline0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 2 && \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 && \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 2 && \\1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2&&\\\hline\hline\end{array}$$

Mehr Einheitsspalten können wir nicht konstruieren, haben aber unendlich viele Lösungen gefunden:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2x_4\\2+3x_4\\2+3x_4\\x_4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\\0\\-1\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\3\\1\\0\end{pmatrix}$$

Comments

ich glaube Sie haben da Zahlen vertauscht.

Es wurde doch z.B von der 1 die 4 abgezogen also an erster stelle 2 -1, warum kommt bei Ihnen 0 raus es muss doch 1 sein?

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Ich habe mit tatsächlich vertan, aber zum Glück nicht bei der Rechnung. Ich hatte ganz zu Anfang nur die falsche Aktion angegeben.$$-2\cdot\text{Zeile 4}$$ muss es heißen. Das Ergebnis stimmt aber.

Ich habe das oben in meiner Antwort korrigiert ;)

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Was ich auch nicht verste ist wie die x4 werte also zb 2+2x4 positiv ist obwohl sie in der gleichung negativ sind.

Außerdem ist das ergebnis in dieser form wohl nicht zulässig da es am ende das Format

Skalar* M1 + ....Skalar*M5 = M0 haben muss.

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da es am ende das Format Skalar* M1 + ....Skalar*M5 = M0 haben muss.

Dann schreibe es doch einfach so hin. Die notwendigen Koeffizenten stehen oben in der Antwort:$$M_0 = M_1(2+2t) + M_2(2+3t) + M_3(2+3t) + M_4t - M_5, \quad t \in \mathbb R$$

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Die Skalare sind die \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) aus der Lösung. Die einfachste Lösung bekommst du, wenn \(x_4=0\) ist. Dann lauten diese Skalare:$$2\quad;\quad2\quad;\quad2\quad;\quad0\quad;\quad-1$$

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Nun das Problem ist eigentlich das ich nicht einfach so werte Weg lassen kann ich muss alles begründen warum ich das so gemacht habe. Wenn ich das einfach so hinschreibe wird als Anmerkung kommen warum ich die anderen werte nicht benutz habe und wo die hin sind.

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Die einfachste Lösung bekommst du, wenn \(x_4=0\) ist

... oder mit \(x_4 = -\frac 23\): $$M_0 = \frac 23 M_1 - \frac 23 M_4 - M_5$$;-)

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Ach, vermutlich ist dir der Übergang von dem Gleichungssystem zur Formulierung des Ergebnis-Vektors unklar. Aus dem letzten Kasten des Gleichungssystems kannst du ablesen:$$x_2-3x_4=2$$$$x_5=-1$$$$x_3-3x_4=2$$$$x_1-2x_4=2$$Wir packen alle \(x_4\) auf die rechte Seite:$$x_2=2+3x_4$$$$x_5=-1$$$$x_3=2+3x_4$$$$x_1=2-2x_4$$Daraus habe ich den Ergebnis-Vektor gebaut.

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Nun das Problem ist eigentlich das ich nicht einfach so werte Weg lassen kann ...

In dieser Form $$M_0 = M_1(2+2t) + M_2(2+3t) + M_3(2+3t) + M_4t - M_5, \quad t \in \mathbb R$$ist das die vollständige Lösung. Da ist nichts weg gelassen und das was Tschakabumba geschrieben hat, ist lediglich eine andere Schreibweise dafür. Und ich habe noch \(x_4\) gegen \(t\) ausgetauscht.

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Wie genau kommt man für x4 auf -2/3? Ich soll das mit aussließlich Skalaren vor den Matrizen lösen also ohne t

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Du kannst für \(t\) eine beliebige Zahl einsetzen. Ich würde \(t=0\) empfehlen. Dann kommst du auf die Lösung:$$M_0=2M_1+2M_2+2M_3-M_5$$Es gibt aber unendlich viele Lösungen.

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Ich muss aber alles begründen warum das so geht und sagen das es halt einfach passt ist nicht genug.

Bspw. muss ich auch detailiert erklären wie ich von den matrizen zu den gleichungen gekommen bin, es ist uns zwar allen offensichtlich ich muss es trotzdem erklären und beweisen das es so erlaubt ist.

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Hmmm... hast du dir die Antwort eigentlich mal angesehen? Das ist die komplette Herleitung für alle unendlich vielen Lösungen.

Du kannst die Matrizen einfach als Vektoren schreiben und für diese Vektoren dann eine Linearkombination suchen. Das Gleichungssystem dafür habe ich Schritt für Schritt gelöst.

Die komplette Herleitung inklusive Diskussion steht hier im Thread.

Wenn du mir konkret sagst, welchen Schritt du nicht verstehst, kann ich dir weiterhelfen. Aber mir fällt gerade kein einfacherer Lösungsweg ein, als denjenigen, den ich gezeigt habe.

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Wie genau kommt man für x4 auf -2/3?

Nun - das war meine Reaktion auf eine 'einfache Lösung'. Mit \(x_4= - 2/3\) wird eben der Term \(2+3x_4\) zu \(0\). Damit fallen zwei der fünf Matrizen weg und die Lösung wird 'einfacher'.

Ich soll das mit ausschließlich Skalaren vor den Matrizen lösen...

\(t\)  ist ein Skalar, genau wie \(2+3t\).

... also ohne t

Es gibt nun mal unendlich viele Lösungen. Entweder nimmst Du irgendeine von ihnen, daraufhin schriebst Du aber:

Nun das Problem ist eigentlich das ich nicht einfach so werte Weg lassen kann ...

und wenn man alle Lösungen angibst, so benötigst Du eine freie Variable, die man \(t\) oder \(x_4\) oder \(\text{Rumpelstilchen}\) nennen kann. Das ist egal, aber ohne geht's dann nicht.

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"Ich muss aber alles begründen warum das so geht und sagen das es halt einfach passt ist nicht genug.

Bspw. muss ich auch detailiert erklären wie ich von den matrizen zu den gleichungen gekommen bin, es ist uns zwar allen offensichtlich ich muss es trotzdem erklären und beweisen das es so erlaubt ist."

Du sollst aber auch aus den Vektor m0 als Linearkombination der anderen darstelle. Genau aber das wird doch durch die Matrizenschreibweise gemacht. Dass da mindestens ein Vektor zu viel ist, das weiß man ja Schon am Anfang. wir können uns also aussuchen , welchen wir weglassen , beziehungsweise, welche. Parameter wir frei bestimmen.

Die gesuchten Koeffizienten der Linearkombination bilden einen Vektor. Die dazugehörigen Vektoren bilden, wenn sie als Spalten nebeneinander geschrieben werden die Matrix.

Die Matrix mal diesen Vektor der Koeffizienten, ergibt den Vektor m0, da gibt es nichts zu erklären, denn so multiplizieren wir Matrizen mit Vektoren.

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Hallo ich bin es nochmal. Wie befürchtet war die Lösung nicht ausreichend. Also ich soll beweisen das ich das unformen von dem 2x2 vektor zu einem 1x4 vektor umformen darf, kannund was genau mein ansatz ist.

mein ansatz war

Es soll aus den Vektoren M1 bis M5 durch eine Linearkombination der Vektor M0 entstehen, dazu werden M1 bis M5 und M0 Zeilenvektoren umgeformt ,um diese nebeneinander zu stellen und daraus ein Gleichungssystem zu erzeugen. Ziel ist es Einheitsvektoren zu erzeugen die für jedes M1 bis M5 eindeutig angeben mit welchen Wert man diese Multiplizieren muss um bei der
Linearkombination auf M0 zu kommen. Hier an einem Beispiel gezeigt wie die Umformung
aussehen wird. :

dann habe ich dan quasi bildlich gezeit wie die umformung aussieht.

Ich weiß jetzt leider nicht genau wieso ich diese umformung darf und wie ich den ansatz sonst beschreiben soll.

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Die Linearkombi sieht doch so aus: $$M_0 = \sum_{i=1}^5 x_iM_i$$. Es sei $$M_i = \begin{pmatrix}a_i& b_i\\ c_i& d_i\end{pmatrix}$$ Nach den Regeln der Matrizenaddition kann man nun vier Gleichungen hinschreiben. Von $$a_0 = \sum_{i=1}^5 x_i a_i$$ bis $$d_0 = \sum_{i=1}^5 x_i d_i$$Somit erhält man ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und den fünf Unbekannten \(x_1\) bis \(x_5\).

Und es steht dem nichts entgegen, das wiederum in vektorieller Schreibweise darzustellen.

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Es soll aus den Vektoren M1 bis M5 durch eine Linearkombination der Vektor M0 entstehen, dazu werden M1 bis M5 mit eigenen Skalaren multipliziert und anschließend alle zusammen addiert was dann als Ergebnis den Vektor M0 ergeben soll.
M0= x1+M1 + x2+M2 + x3+M3 + x4+M4+ x5+M5

x1 bis x5 seien die gesuchten Skalare.

Da die Vektoren M1 bis M5 miteinander addiert werden kann man hier laut der Vektoraddition aus diesen 4 Gleichungen bilden mit 5 unbekannten mit M0 als gesuchtes Ergebnis.

Es werden die Elemente aus M1 bis M5 mit denselben Indizes addiert und das Element aus M0 mit denselben Indizes ist das gesuchte Ergebnis aus dieser addition.
Durch zwei Indizes wird ein bestimmtes Element in einem Vektor bestimmt. Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte wird als aij bezeichnet. Ich habe alle Elemente die eine Gleichung bilden farblich markiert.

Da ist dann noch aufgemalt welche Elemente aus den Vektoren in eine Gleichung kommen.

Meinen Sie das wäre ausreichend ? Bzw. für jemanden der keine Ahnung hat gut erklärt, ich denke das ist das Maß für die gewünschte Lösung.

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Und wie würden sie das verfahren des Gauß algorithmus beschreiben meine Lösung ergibt wohl keinen Sinn

hier mein Ansatz:

Zum Lösen der Gleichungssysteme wird der Gaußalgorithmus verwendet.
Hier gibt es 2 erlaubte Umformungsmöglichkeiten , die Multiplikation einer Gleichung mit einem
Skalar das nicht 0 ist und die Addition von 2 Gleichungen . Diese sind äquivalente Umformungen,
das heißt sie verändern die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht.
Außerdem sind das Tauschen von kompletten Zeilen und Spalten erlaubt, da es sein kann das sich
eine Gleichung an einer anderen Stelle besser anbietet und so Rechenoperationen verhindert
werden könnten.
Die gemachten Rechenschritte werden rechts neben den werten von M0 aufgeschrieben.

Es wird für 4 von den 5 Vektoren der Eindeutige Lösungswert gesucht, also müssen wir aus diesen 4
Gleichungen die Einheitsvektoren (1 0 0 0 0);(0 1 0 0 0); (0 0 1 0 0); (0 0 1 0 0) und/oder (0 0 0 1 0)
bilden, soweit das möglich ist. Diese geben den eindeutigen Wert für das jeweilige M an.
Meine Stratiegie wird sein an 4 verschiedenen Positionen eine 1 Kachel zu haben, also eine Kachel
pro zeile und pro spalte, die ein M eindeutig bestimmt , beispielsweise an den Positionen (1,1);(2,2);
(3,3);(4,4). Es wäre in der Zeile M1 eine 1 an der Position(1,1) und die restlichen Werte sollen 0 sein.
Dasselbe gilt für alle anderen Zeilen in der eine Kachel ausgewählt ist, nur die Kachel hat den Wert 1
und die anderen sind alle 0 .

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Es soll aus den Vektoren M1 bis M5 ...

Aus den Matrizen ...

... kann man hier laut der Vektoraddition ...

... laut der Addition für Matrizen ...

Es werden die Elemente aus M1 bis M5 mit denselben Indizes addiert und das Element aus M0 mit denselben Indizes ist das gesuchte Ergebnis aus dieser addition.

Der Ausdruck 'mit denselben Indizes' ist hier irreführend. Man könnte ja auf die Idee kommen, dass der Index 1 bis 5 damit gemeint ist. Vorschlag:

"Die Matrizen \(M_1\) bis \(M_5\) werden komponentenweise addiert, ... was dann zu den vier Gleichungen führt."

Meinen Sie das wäre ausreichend ?

Wenn Du noch die Gleichungen dazu schreibst, sollte das IMHO reichen. Als Grundwisen sollte bekannt sein, wie man Matrizen addiert ... das ist ja auch nicht schwer - oder?

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... meine Lösung ergibt wohl keinen Sinn

mach Dich nicht selber klein! Wir haben das alle mal lernen müssen, und das auch nicht innerhalb von 1Minute verstanden ;-)

Außerdem sind das Tauschen von kompletten Zeilen und Spalten erlaubt ... und so Rechenoperationen verhindert werden könnten.

Hier solltest Du noch hinzufügen:

"Beim Tauschen von Spalten ist zu beachten, dass sich damit die Reihenfolge der Unbekannten in gleicher Weise ändert"

Es wird für 4 von den 5 Vektoren der Eindeutige Lösungswert gesucht, ...

Matrizen nicht Vektoren und das ist so auch nicht richtig. I.A. ist keiner der fünf Koeffizienten eindeutig. Das hier \(x_5 = -1\) ist, ist eher Zufall bzw. ein Sonderfall.

Ich nehme mal an, Du sollst nicht den Gauß-Algo beschreiben. Den könntest Du auch bei Wikipedia abkupfern ;-) Wichtig ist, dass am Ende der Operation 'Gauß-Algorithmus' eine möglichst große Einheitsmatrix stehen bleibt. Und alle Spalten, die außerhalb dieser Einheitsmatrix stehen, stehen für eine freie Variable - hier das \(t\) bzw. \(x_4\). Diese freie Variable(n) kann(können) frei gewählt werden und alle anderen Variablen sind dann davon abhängig.

Mache Dir das nochmal selbst an einem kleinen Beispiel klar! z.B.:$$x + 2y + z = 8\\ x - 2y + 3z = 6$$