Leibnitzkriterium nicht erfüllt = Divergenz?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Folge an: (-1)^n $\frac{n^5}{3n^5+n+5}$

Diese Folge soll auf Konvergenz untersucht werden.

Problem/Ansatz:

da wir den Term (-1)ⁿ haben, welches für alternierende Divergenz steht bin ich auf die Idee gekommen das Leibnitz Kriterium anzuwenden.

Für das Kriterium gilt:

1) der Grenzwert aller Summanden soll 0 sein

2) Koeffizienten sollen monoton fallend sein für (fast) alle n aus den natürlichen Zahlen.

$\lim\limits_{n\to\infty}$ | (-1)^n ($\frac{n^5}{3n^5+n+5}$ |

Da wir den Betrag gebildet haben ist | (-1)^n | = 1 der andere Term wird im unendlichen zu $\frac{1}{3}$. Dadurch ist das Kriterium nicht erfüllt. Heißt es dann, dass die Folge divergiert oder habe ich einen Schritt vergessen / das falsche Kriterium angewendet?

Answer 1

Hallo

Nein er divergiert sicher, denn es gibt ein n ab dem fast alle Werte beinahe 1/3 sind, ab da wird also immer abwechselnd 1/3 addiert un subtrahiert! Für alle konvergenten Reihen ist ein NOTWENDIGES Kriterium, dass die Summanden eine Nullfolge bilden.

Gruß lul