nte Ableitung mit vollständiger Induktion herleiten

Question

Aufgabe:

Ich muss per vollständiger Induktion eine Formel für die nte Ableitung von f(x)= (x+1)/(x-1) herleiten

Über einen Ansatz oder Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Vlt. hilft:

(x+1)/(x-1)= (x-1+2)/(x-1) = 1+2/(x-1) =2*(x-1)^-1

1.Abl. -2(x-1)^-2

2.Abl. 4(x-1)^-3

3. Abl. 12*(x-1)^-4

Erkennst du das Schema?

Comments

Ja, ich habe nur keine Ahnung wie man das per vollständigen Induktion beweist :/

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Vorzeichen bei 2. Abl. ? Ich habe da ein +.

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Danke. Ist verbessert. :)

Answer 2

Wenn du mal ein paar Ableitungen ausrechnest, siehst

du schnell:

Im Nenner der k-ten Ableitung steht immer (x-1)^(k+1)

und im Zähler wohl (-1)^k * 2* k!.

Also f ^(k) (x) =    (-1)^k * 2* k! / ( x-1)^(k+1) .

Und für die Induktion musst du ja das nur

Ableiten und dabei kommen auf :

f ^(k+1) (x) =    (-1)^(k+1) * 2* (k+1)! / ( x-1)^(k+2) 

und das kommt auch raus.

Comments

Perfekt danke :))

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Nein , ist es nicht. Du musst   (-1)^k * 2* k! / ( x-1)^(k+1)   ableiten

oder besser in der Form   (-1)^k * 2* k! *  ( x-1)^(-k-1) .

Der Anfang   (-1)^k * 2* k! bleibt einfach stehen (konstanter Faktor)

und die Abl von ( x-1)^(-k-1) ist (-k-1)*( x-1)^(-k-2)

Und es entsteht also

(-1)^k * 2* k! *  (-k-1)*( x-1)^(-k-2)

=  (-1)^k * 2* k! *  (-1) * (k+1)*( x-1)^(-k-2)

=  (-1)^(k+1) * 2* (k+1) ! *( x-1)^(-k-2). q.e.d.