Zeigen Sie, dass es nur genau eine Abbildung · : G × G → G mit neutralem Element e

Question

Aufgabe:

Aufgabe  . Sei G = {e, a, b} eine Menge mit drei Elementen. Zeigen Sie, dass es nur genau eine Abbildung · : G × G → G
gibt, so dass (G, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e ist. Ist G
abelsch? Begründen Sie! (Hinweis: Schreiben Sie die möglichen Multiplikationstabellen auf

Problem/Ansatz:

hallo ihr lieben könnt einer mir bitte bei dieser Aufgabe helfen

mg

Dilara

Answer 1

Hi. Betrachtet diese Multiplikationstabelle

$$  \begin{array}{c||c|c|c} \cdot & e & a & b \\\hline\hline e & e & a & b \\\hline a & a & b & e \\\hline b & b & e & a \\ \end{array} $$

Davon sind folgende Zuweisungen:

\( a\cdot a = b \)
\( a\cdot b = e \)
\( b\cdot a = e \)
\( b\cdot b = a \)

Dabei ist \( e \) das neutrale Element, \( a \) das inverse Element von \( b \), und \( b \) das inverse Element von \( a \).

Mit dieser Abbildung (Tabelle) ist die Gruppe \( (G,\cdot) \) sogar abelsch (kommutativ).

Ich hoffe, es hilft.

MfG