Absolute Konvergenz von Reihen

Question

Aufgabe:

Hii ich soll zeigen das ∑n (-1)ⁿ• (x²ⁿ/(2n)!) Absolut konvergiert. Mit x€R

Ich habe mit dem Quotientenkriterium gearbeitet

|an+1/an|= |(-1)ⁿ+1•(x²ⁿ+1/(2n+1)!)•(2n)!/x²ⁿ

Wenn man alles verkürzt bleibt |x/(2n+1)

Und das ist kleiner gleich x\3

Da x€R und x\3< 1 konvergiert sie absolut

Ist das so richtig?

LG

Answer 1

Hallo,

Du hast Dich beim Quotientenkriterium verrechnet. Es geht um die Reihe

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n \text{ mit } a_n=(-1)^n \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$$

Dann ist (denk daran: $2(n+1)=2n+2$)

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|= \left| \frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} \right| \left| \frac{(2n)!}{(2n+2)!}\right| \left| \frac{x^{2n+2}}{x^{2n}}\right|$$

$$=\frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)} \to 0 \text{ für } n \to \infty$$

Daher ist das Quotientenkriterium erfüllt und die Reihe konvergiert absolut für alle x.

Gruß

Comments

Hallo Mathe Peter,

Ich brauche bitte dringend deine Hilfe

Sei∶ [0,1] → ℝ stetig mit (0) = (1) und ∈ ℕ≥1. Zeigen Sie, dass es ein ∈ [0,1 − 1/] gibt mit () = ( + 1/)

Ich weiss nur das ich eine Hilfsfunktion konstruieren muss. Ich weiss aber gar nicht wie ich das machen soll. Sollte ich g(x)= f(x)+1/n betrachten. Ich habe wirklich deine Hilfe

LG

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Hallo Mathe Peter,

Ich brauche bitte dringend deine Hilfe

Sei∶ [0,1] → ℝ stetig mit f(0) = f(1) und n∈ ℕ≥1. Zeigen Sie, dass es ein x∈ [0,1 − 1/n] gibt mit f(x) = (x + 1/n)

Ich weiss nur das ich eine Hilfsfunktion konstruieren muss. Ich weiss aber gar nicht wie ich das machen soll. Sollte ich g(x)= f(x)+1/n betrachten. Ich habe wirklich deine Hilfe

LG

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Hallo,

man sollte nicht neue Aufgaben als Kommentar an alte hängen. Wenn Du sie neu einstellst, kannst Du auch von der Herden-Intelligenz auf mathelounge profitieren.

Überprüfe doch schonmal vorab die Aussage für die Funktion f(x)=0.

Gruß