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Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis vom Kern der linearen Abbildung ϕ : P3(R)R3,p(p(1)p(0)p(1))\phi:P_3(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R^3},p\mapsto \begin{pmatrix}p(-1)\\p(0)\\p(1) \end{pmatrix}


Problem/Ansatz:

Ich hätte jetzt versucht eine Darstellungsmatrix bzgl. der Basis der Monome und der Standardbasis des R3\mathbb{R^3} zu finden. Leider komm ich überhaupt nicht weiter. Hätte da jemand einen allgemeinen Ansatz, wie man dieses Problem angehen könnte ?

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Hallo,

sollte man nicht zunächst den Kern der Abbildung bestimmen, also alle Polynome vom Grad 3 (Höchstgrad) mit p(-1)=p(0)=p(1)=0?

Gruß

Also jedes Polynom vom Grad <=3 kann man ja so schreiben:

p(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3 Wenn jetzt p(0)=p(1)=p(1)=0p(0)=p(-1)=p(1) =0 gelten muss erhält man 3 Bedingungen p(0)=a0=0p(0)=a_0=0

 p(1)=a0a1+a2a3=0 p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3=0

p(1)=a0+a1+a2+a3=0 p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3=0

Also : Kern(100011111111)=<(0101)>Kern\begin{pmatrix} 1 &0&0&0\\ 1&-1&1&-1\\1&1&1&1\end{pmatrix}=<\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}>

Damit ist dim(Kern(ϕ))=1dim(Kern(\phi))=1 und eine Basis des Kerns gegeben durch B=(tt3)B=(t-t^3)

Ja, und schon ist alles geklärt.

Gruß

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