Lösungsmenge einer diophantischen Gleichung

Question

Nenne eine Lösung x ∈ ℕ∪{0}, y ∈ ℕ∪{0} für x²-3xy+y²=1 und eine Rekursionsvorschrift, wie man daraus die nächste Lösung erhält.

Answer 1

Man kann leicht zeigen, dass es keine Lösung gibt mit $x=y$. Weiter ist das Problem symmetrisch - ist eine Lösung $(x_i,\,y_i)$ bekannt, so ist auch $(y_i,\, x_i)$ eine Lösung. Man kann also bei der Suche nach Lösungen o.E.d.A. $x \gt y$ setzen.

Eine triviale Lösung ist sicher$$\begin{pmatrix}x_0\\ y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$$Weitere Lösungen bekommt man mit der Rekursion$$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3& -1\\ 1& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{n}\\ y_{n}\end{pmatrix}$$Beweis: ist $(x_n,\,y_n)$ eine Lösung, so ist auch:$$\begin{aligned} x_{n+1} &= 3x_n - y_n \\ y_{n+1} &= x_n \\ &\phantom{=} x_{n+1}^2 - 3x_{n+1}y_{n+1} + y_{n+1}\\&= (3x_n - y_n)^2 - 3(3x_n-y_n)x_n + x_n^2 \\&= 9x_n^2 - 6x_ny_n + y_n^2 - 9x_n^2 + 3x_ny_n + x_n^2 \\&= x_n^2 - 3x_ny_n + y_n^2 \\&= 1\end{aligned}$$

Answer 2

Mögliche Lösungen sind

[0, 1] , [1, 3] , [3, 8] , [8, 21] , [21, 55] , [55, 144] , ...

Man kann jetzt auch x und y vertauschen oder x und y negieren und erhält weitere Lösungen

Hier also nur die Rekursion für ein Teil der Lösungen.

x0 = 0 ; y0 = 1

x_n+1 = (3·x_n + √(5·x_n² + 4))/2 ; y_n+1 = (3·y_n + √(5·x_y² + 4))/2

Comments

Für die Rekursion habe ich: x₁=0, x₂=1, x_n+1=3x_n - x_n-1.

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Ja. Ich war etwas faul und habe die gegebene Gleichung einfach nur nach y aufgelöst.