Probleme mit der Berechnung der Flächenbilanz mit gegebenen Intervall, Schritt 1 Nullstelle?

Question

Ich hätte nochmal eine Frage. Ich soll eine Flächenbilanz von der folgenden Funktion: f(x)=x³-2x²-x+2 im Intervall: [-2;2] berechnen.

Ich stehe hier nun auf dem Schlauch. Eigentlich müsste ich doch zuerst die Nullstellen berechnen, oder?

Meine Herangehensweise wäre nun wie folgt::

f(x)=0

0=x³-2x²-x+2 |-2

-2=x*(x²-2x-1) | (ein x ausgeklammert)

x₁=0

Aber wie bekomme ich die restlichen Lösungen? Mich stört die -2.

Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?

Answer 1

Flächenbilanz bedeutet du sollst einfach das Integral in den Grenzen von -2 bis 2 berechnen

∫ (-2 bis 2) (x³ - 2·x² - x + 2) dx = - 8/3

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Aber die restlichen Abschnitte müsste ich doch dann über die Nullstellen berechnen, oder nicht?

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Nein. Flächenbilanz bedeutet Flächen oberhalb der x-Achse minus Flächen unterhalb der x-Achse. Aber das Integral bewertet ja Flächen unterhalb der x-Achse automatisch negativ. Daher kann man einfach das Integral nehmen ohne irgendwelche Nullstellen vorher zu berechnen.

Answer 2

x=0 ist keine Lösung :  f(0)=2 ( nicht 0 )

x³-2x²-x+2  = 0 hat die Lösung 1 und Division

durch (x-1) gibt x² - x - 2 mit den Nullstellen -1 und 2.

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Danke für deine Mühe! Polynomdivision hatte ich jedoch noch nicht. Daher verstehe ich den Weg nicht. :D

Answer 3

Man kann die Funktion trefflich faktorisieren:

f(x) = (x² - 1) · (x-2) = (x-1) (x+1) (x-2)

Siehst du nun, wozu das nützt ?

(x=0 ist natürlich keine Nullstelle ...)

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Das ist richtig, richtig gut!

Answer 4

f(x)=x³-2x²-x+2

x³-2x²-x+2=0

Ohne +2 könntest du x ausklammern.

Erraten einer Nullstelle: x =  1→1-2-1+2=0 stimmt →Polynomdivision:

(x³-2x²-x+2):(x-1)= x²-x-2

x² - x - 2=0

x²-1x=2

(x-0,5)²=2+0,5² =2,25

x₁= 0,5+1,5=2

x₂= 0,5-1,5=-1

Intervall: [-2;2]

Flächenbilanz:

Ich nehme an, dass du nun abschnittweise die einzelnen Flächen berechnen sollst.

mfG

Moliets

Text erkannt:

GeoGebra Classic
$f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2$
$=\Omega$
$a:-2 \leq x \leq 2$
$A=(-2,-12)$
$\mathrm{B}=(-1,0)$
$C=(1,0)$
$\mathrm{D}=(2,0)$
Eingabe...

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Also ich dachte schon das ich die Flächen abschnittsweise berechnen soll. Die genaue Fragestellung lautet: "Berechnen Sie die Bilanz der Flächeninhalte zwischen der Funktion f(x)=x³-2x²-x+2 und der x-Achse im Intervall [-2;2]"

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Dank sei dem  "Der_Mathecoach" gesagt.

Ich habe da auch hinzu gelernt, dass man bei der Bestimmung der Flächenbilanz einfach ohne Beachtung der Nullstellen über das gegebene Intervall integrieren kann.

mfG

Moliets

Answer 5

"Ich hätte nochmal eine Frage. Ich soll eine Flächenbilanz von der folgenden Funktion: f(x)=x³-2x²-x+2 im Intervall: [-2;2] berechnen."

Bedeutet, dass du das Integral in den Grenzen von x=-2 bis x=2 berechnen sollst.

Eine Berechnung der Nullstellen ist nicht nötig, da die Flächenbilanz ermittelt werden soll, die Flächen oberhalb der x-Achse werden positiv und die unterhalb der x-Achse werden negativ berechnet. Wenn der Wert kleiner als Null ist, bedeutet dies, dass mehr Fläche unterhalb der x-Achse liegt, als oberhalb der c-Achse , wie in diesem Fall.

$$F(x)=1/3x^4 -2/3x^3-1/2 x^2+2x +C$$

$$F(2)=16/3-16/3-2+4+C=2+C$$

$$F(-2)=16/3+16/3-2-4+C=32/3-6+C=4 2/3 +C$$

$$F(2)-F(-2)=-2 2/3=8/3$$