Satz von Bayer Berechnung

Question

Aufgabe:

Hallo, bei meiner Aufgabe geht es um das Thema Satz von Bayes

Ein medizinischer Test erkennt bei einem kranken Patienten zu 82% dass er krank ist.

5 Prozent der Leute sind Krank. Von allen Tests die durchgeführt sind, sind 20% positiv getestet

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass jemand wirklich krank ist, wenn er positiv getestet wurde?

Mein Ansatz wäre: (0,82 * 0,05) / 0,2 =  0,205

b) Spezifität ist die WK, dass der Test bei einem gesunden Menschen korrekt anzeigt, dass er gesund ist.

Berechne die Spezifität.

Nun weiß ich nicht genau wie ich da vorgehen soll. Ich hätte gedacht dass man in der vorherigen Formel statt 0.82 einfach 0,18 einsetzen könne, aber das scheint nicht richtig zu sein

c) In dem Bundesland leben 700000 Menschen. Wie viele von denen würden denken, dass sie krank sind obwohl sie gesund sind? (Weil bei dem Test angezeigt wird dass sie krank sind)

Gruß Alex

Answer 1

Aloha Alex ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Ich würde mir die im Text verstreuten Daten erstmal in einer Tabelle sortieren$$\begin{array}{rrrr}&\text{Mensch krank} & \text{Mensch gesund} & \text{Summe}\\\hline\text{Test pos.} & 0,82\cdot0,05& 0,20-0,82\cdot0,05 & 0,20\\[1ex]\text{Test neg.} & 0,05-0,82\cdot0,05 & 0,80-(0,05-0,82\cdot0,05)& 1-0,20 \\\hline\text{Summe} & 0,05 & 1-0,05 & 1,00\end{array}$$und diese dann ausrechnen:$$\begin{array}{rrrr}&\text{Mensch krank} & \text{Mensch gesund} & \text{Summe}\\\hline\text{Test pos.} & 0,041 & 0,159 & 0,200\\[1ex]\text{Test neg.} & 0,009 & 0,791 & 0,800 \\\hline\text{Summe} & 0,050 & 0,950 & 1,000\end{array}$$

Damit können wir nun alle Fragen beantworten:

$$p_a=\frac{p(\text{Test pos.}\land\text{Mensch krank})}{p(\text{Test pos.})}=\frac{0,041}{0,200}=0,205$$

$$p_b=\frac{p(\text{Test neg.}\land\text{Mensch gesund})}{p(\text{Mensch gesund})}=\frac{0,791}{0,950}\approx0,8326$$

Von den \(700\,000\) Menschen bekommen \(700\,000\cdot0,159=111\,300\) ein positives Testergebnis, obwohl sie eigentlich gesund sind.

Den Test kann man getrost wegschmeißen, der taugt nichts... ;)