Aloha :)
Der Formalismus der Lagrange-Funktion verdeckt leider oft den Blick auf die wesentliche Idee von Lagrange. Hier geht es darum, eine Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g\) zu optimieren.$$f(x;y;z)=x^2+2y^2+6z\quad;\quad g(x;y;z)=x^2+y^2+3z^2=3=\text{const}$$
Der Gradient der zu optimierenden Funktion muss eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Hier gibt es nur eine Nebenbedingung, also muss gelten:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y;z)\implies\begin{pmatrix}2x\\4y\\6\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2x\\2y\\6z\end{pmatrix}$$Da \(\lambda\ne0\) sein muss (sonst würden wir die Nebenbedingung ignorieren) folgt aus der Gleichung für die dritte Komponente \(\lambda=\frac1z\). Das bedeutet für die ersten beiden Komponenten-Gleichungen:$$2x=\frac{2x}{z}\implies 2x-\frac{2x}{z}=0\implies2x\left(1-\frac1z\right)=0\implies \pink{x=0\;\lor\;z=1}$$$$4y=\frac{2y}{z}\implies 4y-\frac{2y}{z}=0\implies2y\left(2-\frac1z\right)=0\implies \green{y=0\;\lor\;z=\frac12}$$
Die Kandidaten für Extremstellen müssen also folgende Bedingungen erfüllen:$$\left(\pink{x=0}\land\green{y=0}\right)\lor\left(\pink{x=0}\land\green{z=\frac12}\right)\lor\left(\green{y=0}\land\pink{z=1}\right)$$
Damit gehen wir in die Nebenbedingung und finden folgende Kandidaten für Extrema:$$K_1(0|0|-1)\quad;\quad K_2(0|0|1)\quad;\quad K_3\left(0\bigg|-\frac32\bigg|\frac12\right)\quad;\quad K_4\left(0\bigg|\frac32\bigg|\frac12\right)$$
Wir setzen die Punkte in die Funktion \(f\) ein, um das Maximum und das Minimum zu finden:
$$f(\vec k_1)=6\quad;\quad f(\vec k_2)=-6\quad;\quad f(\vec k_3)=\frac{15}{2}\quad;\quad f(\vec k_3)=\frac{15}{2}$$
Das Minimum der Funktion ist \(f(0;0;1)=-6\).
Das Maximum der Funktion ist \(f(0;\pm\frac32;\frac12)=\frac{15}{2}\).
