Bestimmen Sie die Anzahl der Primzahlen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der Primzahlen kleiner als 200 mithilfe des Prinzips von Inklusion Exklusion.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei der Lösung helfen ?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie die Anzahl der Primzahlen kleiner als 200

Stichworte: primzahlen,kombinatorik,wahrscheinlichkeit

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der Primzahlen kleiner als 200 mithilfe des Prinzips von Inklusion-
Exklusion.

Hinweis: Beachten Sie, dass jede natürliche Zahl kleiner als 200, die nicht prim ist, einen Primfaktor
kleiner oder gleich 14 hat.

Definieren Sie deshalb die j-te Menge im Prinzip von Inklusion-Exklusion
als die Menge aller positiver natürlichen Zahlen kleiner als 200, die durch die j-te Primzahl kleiner
oder gleich 14 teilbar ist.

Answer 1

\(\left\lfloor\sqrt(200)\right\rfloor = 14\)

Jede Zahl kleiner als 200, die keine Primzahl ist, ist 1 oder ein Vielfaches einer Primzahl, die kleiner als 14 ist.

Comments

Vielen dank .
Ist das auch die Lösung wenn bei der Aufgabe dieser Hinweis stehet ?

Hinweis: Beachten Sie, dass jede natürliche Zahl kleiner als 200, die nicht prim ist, einen Primfaktor
kleiner oder gleich 14 hat. Definieren Sie deshalb die j-te Menge im Prinzip von Inklusion-Exklusion
als die Menge aller positiver natürlichen Zahlen kleiner als 200, die durch die j-te Primzahl kleiner
oder gleich 14 teilbar ist.

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Ein Hinweis ist keine Arbeitsanweisung. Du darfst ihn also ungestraft ignorieren.

Answer 2

Hallo,

Bestimmen Sie die Anzahl der Primzahlen kleiner als 200 mithilfe des Prinzips von Inklusion Exklusion.

Das ist doch eine Vorgabe und kein 'Hinweis'. Das Prinzip von Inklusion und Exklusion ist z.B. hier beschrieben.

Ich versuche mich mal am Beispiel der Primzahlen bis 30. Die Anzahl der Primzahlen \(n_P\) bis 30 sind alle Zahlen ohne die 1 ... $$n_P(30) = 30 - 1 \dots$$... und ohne die durch 2 teilbaren, die größer als 2 sind ... $$n_P(30) = 29 - \left( \left\lfloor \frac {30}2 \right\rfloor - 1 \right)$$... und ohne die durch 3 teilbaren, größer 3 ... $$n_P(30) = 29 - \left( \left\lfloor \frac {30}2 \right\rfloor - 1 \right) - \left( \left\lfloor \frac {30}3 \right\rfloor - 1\right)$$... aber jetzt haben wir die durch \(2 \cdot 3 = 6\) teilbaren zu viel abgezogen. Somit müssen die wieder addiert werden$$n_P(30) = 29 - \left( \left\lfloor \frac {30}2 \right\rfloor - 1 \right) - \left( \left\lfloor \frac {30}3 \right\rfloor - 1\right) +  \left\lfloor \frac {30}6 \right\rfloor$$Jetzt die durch 5 teilbaren (das wäre die nächste Primzahl)$$\begin{aligned}n_P(30) &= 29 - \left( \left\lfloor \frac {30}2 \right\rfloor - 1 \right) - \left( \left\lfloor \frac {30}3 \right\rfloor - 1\right) +  \left\lfloor \frac {30}6 \right\rfloor \\ &\phantom{=} - \left( \left\lfloor \frac {30}5 \right\rfloor - 1 \right) \end{aligned}$$und wieder berücksichtigen, dass da was zu viel abgezogen wurde$$\begin{aligned}n_P(30) &= 29 - \left( \left\lfloor \frac {30}2 \right\rfloor - 1 \right) - \left( \left\lfloor \frac {30}3 \right\rfloor - 1\right) +  \left\lfloor \frac {30}6 \right\rfloor \\ &\phantom{=} - \left( \left\lfloor \frac {30}5 \right\rfloor - 1 \right) + \left\lfloor \frac {30}{2 \cdot 5} \right\rfloor +  \left\lfloor \frac {30}{3 \cdot 5} \right\rfloor \\ &= 29 - 14 - 9 + 5 - 5 + 3 + 2 \\&= 11\end{aligned}$$\(11\) ist richtig, zähle bitte nach.

Das musst Du nun 'nur noch' auf die 200 übertragen. Da wären die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 und 13 zu berücksichtigen.