Wir haben mit (Ω , P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit den Ereignissen A, B, A_{1}, ... A_{k} ⊂ Ω. Zeigen Sie, dass P …

Question

Aufgabe:

Wir haben mit (Ω , P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit den Ereignissen A,B,A₁, ...A_k ⊂ Ω

Zeigen Sie, dass \( P\left(\bigcup_{j=1}^{k} A_{j}\right) \leq \sum \limits_{j=1}^{k} P\left(A_{j}\right) \) gilt.

Answer 1

Ich habe es induktiv bewiesen:

Sei k = 2

\( P\left(\bigcup_{j=1}^{k=2} A_{j}\right)\)

= \(P(A_1 ∪ A_2) \)

= \(P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 ∩ A_2)\)

≤ \(P(A_1) + P(A_2)\)

= \(\sum \limits_{j=1} ^ {k=2} P(A_j)\)

⇒ gilt für k = 2

\( P\left(\bigcup_{j=1}^{k+1} A_{j}\right)\)

= \(P\left(\bigcup_{j=1}^{k} A_{j}\right) + P(A_{k+1}) - P\left(\bigcup_{j=1}^{k} A_{j} \cap A_{k+1}\right)\)

≤ \(P\left(\bigcup_{j=1}^{k} A_{j}\right) + P(A_{k+1})\)

≤ \(\sum \limits_{j=1}^{k}P(A_j)  + P(A_{k+1})\)       nach Induktionsannahme

= \(\sum \limits_{j=1}^{k+1} P(A_j)\)