Hallo,
Aufgabe:
Welche der folgenden Aussagen für Folgen reeller Zahlen {xn}n∈N sind äquivalent zur
Konvergenz der Folgen gegen x ∈ R? Begründen Sie Ihre Antwort.
(c) Für alle k ∈ N gibt es ein n0 ∈ N, sodass für alle n ∈ N mit n ≥ n0: |xn − x| < 1/k
(d) Für alle n ∈ N gilt: |xn − x| < 1/n
Problem/Ansatz:
Die Aussage c) ist äquivalent, da:
|xn − x| < epsilon sein muss; 1/k ist eine harmonisch folge, dh. 1/k |bk - 0| = 1/k kleiner/gleich 1/k0 < epsilon für alle k > ko
Da |xn − x| < 1/k für n>n0, gilt insgesamt: |xn − x| < 1/k kleiner/gleich 1/k0 < epislon, weshalb xn gegen x konvertiert.
Die Aussage d) ist nicht äquivalent, da:
0 < 1/n < epsilon für n>n0. Hier müsste aber |xn − x| < 1/n < epsilon für alle n gelten. Dies kann durch Widerspruch widerlegt werden. Dafür wählt man n = 1 und epsilon = 0,1 und erhält: |xn - x| < 1 < 0,1 was zu einem Widerspruch führt. Die Aussage gilt also nicht für alle n wie in der Angabe, sondern nur für n>no.
Ist das so richtig argumentiert? Vielen Dank im Voraus.
