Beispiel für span(w1, w2, w3, w4)=R3 mit span(w1,w2,w3) ≠R3

Question

Hallo :)

Ich brauche etwas Hilfe bei einer Matheaufgabe. Diese lautet: Geben Sie ein Beispiel von den Vektoren w1, w2, w3, w4 mit span(w1, w2, w3, w4)=R³, aber span(w1,w2,w3) ungleich R3. Rechnen Sie jeweils nach, dass ihre Beispiele die geforderten Beispiel haben

Nun habe ich die Vektoren w1(-1,0,8) w2(2,-5,0) w3(0,3,4) und w4(-1,2,0) mit R3=(3,2,4), weiß aber nicht wie ich zeigen soll das span(w1,w2,w3) ungleich R3 ist.

Weiß jemand vielleicht wie ich vorgehen könnte?

:))

Answer 1

Aloha :)

Du kannst mittels elementarer Spalten-Operationen die linearen Abhängigkeiten der drei w-Vektoren rausrechnen. Dazu schreibst du sie in eine Matrix und bringst diese auf Dreickform:

$$\left(\begin{array}{rrr} & +2S_1 &\\\hline-1 & 2 & 0\\0 & -5 & 3\\8 & 0 & 4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrr} & -4S_3 &\\\hline-1 & 0 & 0\\0 & -5 & 3\\8 & 16 & 4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrr} & :(-17) &\\\hline-1 & 0 & 0\\0 & -17 & 3\\8 & 0 & 4\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{rrr} & & -3S_2\\\hline-1 & 0 & 0\\0 & 1 & 3\\8 & 0 & 4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrr} -2S_3 & & :\,4\\\hline-1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\8 & 0 & 4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrr} \cdot(-1) & & \\\hline-1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{rrr} & & \\\hline 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Ich muss dich also leider enttäuschen. Die 3 w-Vektoren spannen den kompletten $\mathbb R^3$ auf. Wir konnten sie auf die Standardbasis der $\mathbb R^3$ runterrechnen. Wenn du die $-5$ zu einer $12$ machst, solltest du weiter kommen ;)

Alternativ dazu, kannst du auch die Determinante der 3 w-Vektoren bestimmen. Wenn diese ungleich null ist, spannen sie den $\mathbb R^3$ auf.

Comments

Ahh oki Dankeschön:)

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Also muss ich 3 Vektoren bestimmen dessen Determinante ungleich null ist damit diese dann ungleich R3 ist oder?

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Ja, genau!

Die Determinante einer $n\times n$-Matrix gibt das $n$-dimensionale Volumen an, das die $n$ Spalten oder die $n$ Zeilenvektoren aufspannen. Wenn bei einer $3\times3$-Matrix also der Wert $0$ rauskommt, ist das von den 3 Vektoren aufgespannte 3-dimensionale Volumen gleich $0$. Die 3 Vektoren müssen dann in einer Ebene liegen (oder sind parallele oder gleiche Geraden). Sie spannen dann keinen 3-dimensionalen Raum auf.

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Dankeee dir :)))