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Beweisen Sie: x2y2+y2z2+z2x2xyz3\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz} \geq \sqrt{3}, wenn x,y,z>0x,y,z >0 und x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1

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Hallo,

es gibt eine einfache rechnerische Bearbeitung, wenn man mehrdimensionale Analysis verwenden darf (Minimierung mit Nebenbedingung). Würde Dir das helfen. Oder suchst Du nach einer "elementaren" Herleitung, alleine mit den Rechenregeln für reelle Zahlen?

Gruß

Falls Du eine Lösung hast, würde ich mich freuen, wenn du sie hier hochlädst. (auch durch mehrdimensionale Analysis). Eine einfache Lösung wäre aber natürlich besser.

Entschuldigung: Ich war vorschnell mit meiner Bemerkung zur mehrdim. Analysis, ist tatsächlich nicht einfach.

Gruß

Mit mehrdimensionaler Analysis kann man leicht unter Computereinsatz die Ungleichung bestätigen. Wenn du es elementarer willst, würde ich zwei Dinge vorschlagen:

(1) AM-GM-Ungleichung

(2) Kugelkoordinanten + geometrische Ungleichungen

Manchmal hilft auch Cauchy-Schwarz bei sowas.

Disclaimer: Ich habe das noch nicht ausprobiert, sind aber einige Anregungen.

Meine Antwort ist jetzt vollständig, nicht schön, aber einfach, falls ich mich zwischendurch nicht verrechnet habe, sollte es passen.

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x2y2+y2z2+z2x2xyz3\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz} \geq \sqrt{3}

(x2y2+y2z2+z2x2)23x2y2z2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2 \geq 3 x^2y^2z^2

(x4y4+y4z4+z4x4)+2(x4y2z2+x2y4z2+x2y2z4)3x2y2z2(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)+2(x^4y^2z^2+x^2y^4z^2+x^2y^2z^4)\geq 3 x^2y^2z^2

(x4y4+y4z4+z4x4)+2(x2+y2+z2)x2y2z23x2y2z2(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)+2(x^2+y^2+z^2)x^2y^2z^2\geq 3 x^2y^2z^2

(x4y4+y4z4+z4x4)+2x2y2z23x2y2z2(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)+2x^2y^2z^2\geq 3 x^2y^2z^2


(x4y4+y4z4+z4x4)x2y2z2(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)\geq x^2y^2z^2

falls;x2=y2=z2=13falls; x^2=y^2 =z^2=\frac{1}{3}

3(13)2(13)2=127=1313133(\frac{1}{3})^2(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{27}=\frac{1}{3}*\frac{1}{3}*\frac{1}{3}

x2a=y2b=z2c=13 x^2-a=y^2-b =z^2-c=\frac{1}{3}

1a;b;c11 \geq a ; b ; c \geq -1

a+b+c=0a+b+c=0
(13+a)2(13+b)2+(13+b)2(13+c)2+(13+c)2(13+a)2(13+a)(13+b)(13+c)(\frac{1}{3}+a)^2(\frac{1}{3}+b)^2+(\frac{1}{3}+b)^2(\frac{1}{3}+c)^2+(\frac{1}{3}+c)^2(\frac{1}{3}+a)^2 \geq (\frac{1}{3}+a)*(\frac{1}{3}+b)*(\frac{1}{3}+c)

(19+23a+a2)(19+23b+b2)+(19+23b+b2)+(19+23c+c2)(19+23a+a2)127+19(a+b+c)+13(ab+bc+ca)+abc(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}a+a^2)(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}b+b^2)+ (\frac{1}{9}+\frac{2}{3}b+b^2)+(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}c+c^2)(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}a+a^2)\geq \frac{1}{27}+\frac{1}{9}(a+b+c)+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc

(181+227(a+b)+19(a2+b2)+49(ab)+23(a2b+ab2)+a2b2)(\frac{1}{81}+\frac{2}{27}(a+b)+\frac{1}{9}(a^2+b^2)+ \frac{4}{9}(ab)+\frac{2}{3}(a^2b+ab^2)+a^2b^2)+(181+227(b+c)+19(b2+c2)+49(bc)+23(b2c+bc2)+b2c2)+(\frac{1}{81}+\frac{2}{27}(b+c)+\frac{1}{9}(b^2+c^2)+ \frac{4}{9}(bc)+\frac{2}{3}(b^2c+bc^2)+b^2c^2)+(181+227(a+c)+19(a2+c2)+49(ac)+23(a2c+ac2)+a2c2)+(\frac{1}{81}+\frac{2}{27}(a+c)+\frac{1}{9}(a^2+c^2)+ \frac{4}{9}(ac)+\frac{2}{3}(a^2c+ac^2)+a^2c^2)127+19(a+b+c)+13(ab+bc+ca)+abc \geq \frac{1}{27}+\frac{1}{9}(a+b+c)+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc

(19(a2+b2)+49(ab)+23(a2b+ab2)+a2b2)(\frac{1}{9}(a^2+b^2)+ \frac{4}{9}(ab)+\frac{2}{3}(a^2b+ab^2)+a^2b^2)+(19(b2+c2)+49(bc)+23(b2c+bc2)+b2c2)+(\frac{1}{9}(b^2+c^2)+ \frac{4}{9}(bc)+\frac{2}{3}(b^2c+bc^2)+b^2c^2)+(19(a2+c2)+49(ac)+23(a2c+ac2)+a2c2)+(\frac{1}{9}(a^2+c^2)+ \frac{4}{9}(ac)+\frac{2}{3}(a^2c+ac^2)+a^2c^2)13(ab+bc+ca)+abc \geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc

(23(a2+b2+c2)+49(ab+bc+ca)+23(a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b))+(a2b2+b2c2+c2a2)(\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)+ \frac{4}{9}(ab+bc+ca)+\frac{2}{3}(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)13(ab+bc+ca)+abc \geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc

(23(a2+b2+c2)+19(ab+bc+ca)+23(a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b))+(a2b2+b2c2+c2a2)(\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)+ \frac{1}{9}(ab+bc+ca)+\frac{2}{3}(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)abc \geq abc

Eine Idee ist c durch - (a+b) zu ersetzen.

1abc11 \geq a \geq b \geq c \geq -1

c=(a+b)c=- (a+b)

(43(a2+ab+b2)19(a2+ab+b2)+2(a2b+ab2)+(a2b2+(b2+a2)(a+b)2)(\frac{4}{3}(a^2+ab+b^2)- \frac{1}{9}(a^2+ab+b^2)+2(a^2b+ab^2)+(a^2b^2+(b^2+a^2)(a+b)^2)a2bab2 \geq -a^2b-ab^2

(113(a2+ab+b2)+3(a2b+ab2)+(a2b2+(b2+a2)(a+b)2)0(\frac{11}{3}(a^2+ab+b^2)+3(a^2b+ab^2)+(a^2b^2+(b^2+a^2)(a+b)^2)\geq 0ä

Stimmt für

1ab0c11 \geq a \geq b \geq 0 \geq c \geq -1

Wenn

1a0bc11 \geq a \geq 0 \geq b \geq c \geq -1

So ist

1ab1 |a| \geq |b|

(113(a+b)2ab)+3(a2b+ab2)+(a2b2+(b2+a2)(a+b)2)0(\frac{11}{3}(a+b)2-ab)+3(a^2b+ab^2)+(a^2b^2+(b^2+a^2)(a+b)^2)\geq 0ä

Wenn b<0, dann

113(ab)+3a2b>0\frac{11}{3} (-ab)+3a^2b>0

Damit ist die Behauptung bewiesen.

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