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Aufgabe:

Finden Sie eine Matrix C∈MatR(3,3) mit det(C−7E3)=0 und det(C)=10


Problem/Ansatz:


Mein Problem ist eigentlich nur, dass ich nicht weiß was ich mit det(C-7E3)=0 anfangen soll bzw. nicht weiß was das heißt.

Wenn ich das weglasse hätte ich für C=

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mit det(C)=10 raus.

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E3 ist vermutlich die 3×3-Einheitsmatrix. Üblich ist dafür allerdings die Schreibweise I3.

2 Antworten

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Versuche mal

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Aloha :)

Wir sollen eine \(3\times3\)-Matrix \(C\) so bestimmen, dass gilt:$$\operatorname{det}(C-7E_3)=0\quad;\quad\operatorname{det}(C)=10$$Da wir sonst keine Vorgaben an die Matrix \(C\) haben, nehmen wir an, sie habe Diagonalgestalt. Dann ist$$C=\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\0 & b & 0\\0 & 0 & c\end{pmatrix}\quad;\quad C-7E_3=\begin{pmatrix}a-7 & 0 & 0\\0 & b-7 & 0\\0 & 0 & c-7\end{pmatrix}$$

Die Determinanten erhalten wir einfach durch die Multiplikation der Diagonalelemente:$$\operatorname{det}(C)=abc\stackrel!=10\quad;\quad \operatorname{det}(C-7E_3)=(a-7)(b-7)(c-7)\stackrel!=0$$

Die zweite Bedingung fordert, dass eines der Diagonalelemente gleich \(7\) ist. Daher setzen wir \(a=7\). Die beiden anderen Diagonalelemente \(b\) und \(c\) müssen dann so gewählt werden, dass gilt:$$7\cdot b\cdot c=10\quad\text{bzw.}\quad bc=\frac{10}{7}$$Wir wählen der Einfachheit halber \(b=10\) und \(c=\frac{1}{7}\). Damit haben wir eine der unendlich vielen möglichen Matrizen gefunden:$$C=\begin{pmatrix}7 & 0 & 0\\0 & 10 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{7}\end{pmatrix}$$

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