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Antworten:
1. Jede Abbildung \( f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) besitzt eine Darstellungsmatrix
2. Jede lineare Abbildung \( f \) besitzt eine Darstellungsmatrix. Hinweis: Betrachten sie die Polynomintegration.
3. Es seien \( V, W \) mit dem Untervektorraum \( U \leq V \mathrm{~K}-\mathrm{VR}, \phi \in \operatorname{hom}(V, W) \) und \( \alpha, \beta \in K \). Dann gilt für \( a, b \in \phi(U), \) dass \( \alpha a+\beta b \in \phi(U) \)
4. \( \left[\begin{array}{lllll}1 & a & b & c & d \\ 0 & 1 & e & f & g \\ 0 & 0 & 1 & h & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & j \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \) ist für \( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \in \mathbb{R} \) invertierbar.
5. Für ein Nilpotentes \( \mathrm{N} \) ist \( \sum \limits_{k-0}^{\infty} N^{k} \) invertierbar.
6. Es sei \( V-\mathbb{R}^{n} \) und die Darstellungsmatrix \( M \) des Basiswechsels gegeben. Dann gilt det \( M-0 \)
7. Durch den Gaußalgorithmus können aus einer Basis \( \mathrm{B} \) beliebig viele andere Basen hergestelit werden.
8. Es seien \( U, V, W \) n-dimensionale Vektorräume, \( \phi \in \operatorname{hom}(V, W) \) eine Abbildung und \( f: U \rightarrow V \) eine weitere Abbildung. Dann erhalt man eine Abbildungsmatrib für \( \phi \circ f \). indem man die Bilder der Basisvektoren einer Basis in \( U \) abbildet und deren Koordinaten in den Spalten der Matrix speichert.
9. Es sei \( V \) ein n-dimensionaler Vektorraum und \( \phi=3 \) * id \( v \), \( \psi=5 \) * id \( v \). Wir bestimmen die Darstellungsmatrizen \( M, N \) von \( \psi, \phi \) und erhalten die Darstellungsmatrix von \( \psi \circ \phi \), indem wir das Hadamardprodulkt \( M \circ N \) ausrechnen.
10. \( \mathrm{Zu} V, W \) endlich erzeugten VR gibt es immer ein \( \phi \in \mathrm{hom}(V, W) \). dass zu sich selbst invers ist, \( \mathrm{d} . \mathrm{h} . \phi^{2}=\mathrm{id} \)
