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Antworten:


1. Jede Abbildung \( f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) besitzt eine Darstellungsmatrix


2. Jede lineare Abbildung \( f \) besitzt eine Darstellungsmatrix. Hinweis: Betrachten sie die Polynomintegration.


3. Es seien \( V, W \) mit dem Untervektorraum \( U \leq V \mathrm{~K}-\mathrm{VR}, \phi \in \operatorname{hom}(V, W) \) und \( \alpha, \beta \in K \). Dann gilt für \( a, b \in \phi(U), \) dass \( \alpha a+\beta b \in \phi(U) \)


4. \( \left[\begin{array}{lllll}1 & a & b & c & d \\ 0 & 1 & e & f & g \\ 0 & 0 & 1 & h & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & j \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \) ist für \( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \in \mathbb{R} \) invertierbar.

5. Für ein Nilpotentes \( \mathrm{N} \) ist \( \sum \limits_{k-0}^{\infty} N^{k} \) invertierbar.

6. Es sei \( V-\mathbb{R}^{n} \) und die Darstellungsmatrix \( M \) des Basiswechsels gegeben. Dann gilt det \( M-0 \)


7. Durch den Gaußalgorithmus können aus einer Basis \( \mathrm{B} \) beliebig viele andere Basen hergestelit werden.

8. Es seien \( U, V, W \) n-dimensionale Vektorräume, \( \phi \in \operatorname{hom}(V, W) \) eine Abbildung und \( f: U \rightarrow V \) eine weitere Abbildung. Dann erhalt man eine Abbildungsmatrib für \( \phi \circ f \). indem man die Bilder der Basisvektoren einer Basis in \( U \) abbildet und deren Koordinaten in den Spalten der Matrix speichert.

9. Es sei \( V \) ein n-dimensionaler Vektorraum und \( \phi=3 \) * id \( v \), \( \psi=5 \)  * id \( v \). Wir bestimmen die Darstellungsmatrizen \( M, N \) von \( \psi, \phi \) und erhalten die Darstellungsmatrix von \( \psi \circ \phi \), indem wir das Hadamardprodulkt \( M \circ N \) ausrechnen.

10. \( \mathrm{Zu}  V, W \) endlich erzeugten VR gibt es immer ein \( \phi \in \mathrm{hom}(V, W) \). dass zu sich selbst invers ist, \( \mathrm{d} . \mathrm{h} . \phi^{2}=\mathrm{id} \)

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Dann gib mal deine 10 Entscheidungen begründet an.

Etwa so:

1 falsch, das geht nur bei linearen Abbildungen.

2. Richtig, indem man eine feste Basis in der Definitions- und Zielmenge wählt

3.

4. Richtig, weil keine Nullzeile vorhanden ist

5. Richtig

6. Falsch, Basiswechsel ist eine umkehrbare Funktion und somit invertierbar. Die Determinante ist 0 wenn die Matrix nicht invertierbar ist

7. Richtig, durch die Berechnung der Basistransformationsmatrix


Bei dem Rest stehe ich leider auf dem Schlauch

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