Strikte lokale Maximalstelle

Question

Aufgabe:

Strikte lokale Maximalstelle einer bestimmten Funktion

Problem/Ansatz:

mir fällt es wirklich schwer den Beweis von Aufgabe (v) (siehe Bild)

Text erkannt:

Aufgabe $7.5 \quad$ (Stetigkeit II - 10 Punkte) Wir definieren die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ durch
$$f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{m}, & \text { falls } x \in \mathbb{Q} \text { mit } x=\frac{n}{m} \text { für zwei teilerfremde Zahlen } n \in \mathbb{Z} \text { und } m \in \mathbb{N} \\ 0, & \text { falls } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{array}\right.$$
Zeigen Sie:
(i) $f$ ist in keinem Punkt $x \in \mathbb{Q}$ stetig.
(ii) $f$ ist in jedem Punkt $x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ stetig.
(iii) $f$ ist 1-periodisch, das heißt, es gilt $f(x+1)=f(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
(iv) Für alle $\varepsilon>0$ gilt $\left|f^{-1}([\varepsilon, \infty)) \cap(0,1)\right|<\infty$.
(v) Jeder Punkt $x_{0} \in \mathbb{Q}$ ist eine strikte lokale Maximalstelle der Funktion $f$, das heißt
$$\forall x_{0} \in \mathbb{Q} \exists \delta>0 \forall x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \backslash\left\{x_{0}\right\}: f(x)<f\left(x_{0}\right)$$

Kann mir da einer sagen wie so eine Lösungsidee aussehen könnte und villt die Abschätzung dazu? Das wäre sehr nett!!


Vielen Dank im Voraus!

Comments

Tipp: Recherchiere zur Thomaeschen Funktion und stelle den Wikipedia-Artikel auf Englisch.

Answer 1

Hallo

1. benutze Folgenstetigkeit, zu jedem m(n gibt es rationale folgen und reelle , die dagegen konvergieren, genauso bei reellen, aber da wird der Nenner der rationalen immer größer!

iii) nachrechnen: reelle Zahl+1= reelle Zahl, 1+n/m==(n+m)/m

iiii) nachrechnen.

v) warum z.B ist bei f(1/3) lokal maximal? denk daran, die reellen Zahlen sind dicht!