Suche nach Intervall | Strikte Monotonie

Question

Betrachten Sie die Funktion \( f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x):=\frac{x^{2}+1}{x+1} \)

Geben Sie maximale Intervalle an, auf denen die Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist. Untersuchen Sie dabei auch auf strikte Monotonie.

ich versteh nicht was ich hier machen soll.

also wenn ich die erste ableitung bilde und nach x auflöse kriege ich:

x1= -1-\( \sqrt{2} \)

x2= -1+\( \sqrt{x} \)2

mache ich dann:

> 0    x > (-1 + \( \sqrt{2} \))

< 0    x < (-1 - \( \sqrt{2} \) )

Ist das so richtig?

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg...

Über das Monotonieverhalten einer Funktion$$f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}\quad;\quad x\in[0;2]$$gibt das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung Auskunft:$$f'(x)=\frac{2x\cdot(x+1)-(x^2+1)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2}$$Der Nenner der Ableitung ist immer positiv. Der Zähler hat im Intervall \(x\in[0;2]\) eine Nullstelle, denn:$$(x+1)^2-2\stackrel!=0\implies (x+1)^2=2\implies x+1=\pm\sqrt2\implies x=\pm\sqrt2-1$$In dem Definitionsbereich liegt nur die Nullstelle \((x=\sqrt2-1)\).

Für \(x<(\sqrt2-1)\) ist \((f'(x)<0)\) und die Funktion daher streng monoton fallend.

Für \(x>(\sqrt2-1)\) ist \((f'(x)>0)\) und die Funktion daher streng monoton wachsend.

~plot~ (x^2+1)/(x+1)*(x>=0)*(x<=2) ; [[-0,5|2,5|0|2]] ; x=0,414 ~plot~