Erwartungswert und Standardabweichung Münzen

Question

Aufgabe:

Aus einer Kasette mit fünf 1€ Münzen, sieben 2€ Münzen und zehn 50 cent Münzen entnimmt man zwei Münzen. Welchen Betrag wird man durchschnittlich entnehmen?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wir haben: 5-mal 1€, 7-mal 2€ und 10-mal 50ct.

Wir entnehmen 2 Münzen, das liefert 6 mögliche Beträge:

$$1,00€\;;\;1,50€\;;\;2,00€\;;\;2,50€\;;\;3,00€\;;\;4,00€$$

Wir berechnen für jeden Betrag die Wahrscheinlichkeit:

$$p(1,00€)=p(0,50€\,\land\,0,50€)=\frac{10}{22}\cdot\frac{9}{21}=\frac{90}{462}$$$$p(1,50€)=p(1,00€\,\land\,0,50€)=\frac{5}{22}\cdot\frac{10}{21}+\frac{10}{22}\cdot\frac{5}{21}=\frac{100}{462}$$$$p(2,00€)=p(1,00€\,\land\,1,00€)=\frac{5}{22}\cdot\frac{4}{21}=\frac{20}{462}$$$$p(2,50€)=p(2,00€\,\land\,0,50€)=\frac{7}{22}\cdot\frac{10}{21}+\frac{10}{22}\cdot\frac{7}{21}=\frac{140}{462}$$$$p(3,00€)=p(2,00€\,\land\,1,00€)=\frac{7}{22}\cdot\frac{5}{21}+\frac{5}{22}\cdot\frac{7}{21}=\frac{70}{462}$$$$p(4,00€)=p(2,00€\,\land\,2,00€)=\frac{7}{22}\cdot\frac{6}{21}=\frac{42}{462}$$

Der Erwartungswert ist daher:

$$\mu=\frac{90\cdot1,00€+100\cdot1,50€+20\cdot2,00€+140\cdot2,50€+70\cdot3,00€+42\cdot4,00}{462}$$$$\mu=\frac{1008€}{462}\approx2,18€$$