Aloha :)
Die gegebenen Darstellung der Summe$$S=1+(1+2)+(1+2+2^2)+\cdots+(1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1})$$schreiben wir zunächst etwas um$$S=\sum\limits_{k=0}^02^k+\sum\limits_{k=0}^12^k+\sum\limits_{k=0}^22^k+\sum\limits_{k=0}^32^k+\cdots+\sum\limits_{k=0}^{n-1}2^k=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\sum\limits_{k=0}^i2^k\right)$$und ersetzen die innere Summe mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe:
$$S=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1-2^{i+1}}{1-2}\right)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(2^{i+1}-1\right)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}2^{i+1}-\sum\limits_{i=0}^{n-1}1=2\sum\limits_{i=0}^{n-1}2^{i}-n$$
Erneut hilft uns die Summenformel für die geometrische Reihe weiter:$$S=2\,\frac{1-2^n}{1-2}-n=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-(n+2)$$
