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Aufgabe:

Zeigen Sie die Ungleichung$$(( \sqrt[n]{n}  -1)+1)^n \ge 1+ \frac{n(n-1)}2  \cdot ( \sqrt[n]{n} -1)^2, \quad \forall n \in \mathbb N$$
(((\( \sqrt[n]{n} \) -1)+1)^n)  ≥  1+ (n*(n-1))/2  *  ( \( \sqrt[n]{n} \) -1)^2    , ∀ n ∈ N.


Zeigen Sie mit Hilfe dieser Ungleichung, dass

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \sqrt[n]{n} \) = 1

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Der Binomische Lehrsatz liefert $$  n = \big[ \left(\sqrt[n]{n} - 1 \right) +1  \big]^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \big( \sqrt[n]{n} - 1 \big)^k $$ Es folgt aus dem ersten und dritten Term der Summe

$$ n = \big[ \left(\sqrt[n]{n} - 1 \right) +1  \big]^n \ge 1 + \frac{ n (n-1)  } { 2  } \big( \sqrt[n]{n} - 1 \big)^2  $$

Also $$ \big( \sqrt[n]{n} - 1 \big)^2 \le 2 \frac{ n - 1  }{ n (n-1)  } $$ Der rechte Term geht gegen \( 0 \) für \( n \to \infty \)

von 33 k
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Aloha :)

a) Zu zeigen: \(((\sqrt[n]{n}-1)+1)^n\ge1+\frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2\quad;\quad n\in\mathbb N\)

Für \(n=1\) ist die Behauptung klar, denn dann gilt:$$((\sqrt[n]{n}-1)+1)^n=1\quad;\quad1+\frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2=1$$Für \(n\ge2\) können wir mit dem binomischen Lehrsatz:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$folgende Abschätzung vornehmen:$$(\underbrace{(\sqrt[n]{n}-1)}_{=a}+\underbrace{1}_{=b})^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}(\sqrt[n]{n}-1)^k\cdot1^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}(\sqrt[n]{n}-1)^k$$$$\qquad\ge\binom{n}{0}(\sqrt[n]{n}-1)^0+\binom{n}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2=1+\frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2$$Damit ist die Behauptung von oben bewiesen.


b) Der Rest ist nun einfach. Für \(n\ge2\) gilt:

$$\left.n=(\sqrt[n]{n})^n=((\sqrt[n]{n}-1)+1)^n\ge1+\frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2\quad\right|-1$$$$\left.n-1\ge\frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2\quad\right|:(n-1)$$$$\left.1\ge\frac{n}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2\quad\right|\cdot\frac{2}{n}$$$$\left.\frac{2}{n}\ge(\sqrt[n]{n}-1)^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}-1\quad\right|+1$$$$\left.\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac{2}{n}}\quad\right.$$Wegen \(n\ge1\) haben wir also:$$1\le\sqrt[n]{n}<1+\sqrt{\frac{2}{n}}$$Im Grenzübergang \(n\to\infty\) heißt das:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$

von 62 k 🚀
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