Wie löse ich die Ungleichung e^x/x > x/2?

Question

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Aufgabe:

Zu Zeigen ist, dass für alle x > 0 die folgende Ungleichung gilt:

e^x/x > x/2

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist zuerst zu zeigen, dass x/2 > 0 ist, indem ich Umforme zu x² > 0  und x² >= 2x und somit >0.

Danach weiß ich, dass e^x  = 0, + inf ist und 0 geteilt durch etwas ist immer 0, deswegen weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass e^x/x > x/2 ist.

Wie kann ich es umformen, dass ich zu dieser Lösung komme?

Vielleicht Arbeit mit e^ln (x) *x ?

Ich stehe wirklich auf dem Schlauch, ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde einfach mit der bekannten Reihendarstellung für \(e^x\) arbeiten. Die lässt sich für \(x>0\) wie folgt abschätzen:$$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}\implies\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}$$

Answer 2

Dass die Ungleichung für positive Zahlen immer gilt, ist leicht einzusehen. Bleibt der Fall x<0 zu betrachten: Hier muss man die Lösungen von 2e^x<x² finden. Die Grenze dieses Bereiches ist Lösung von 2e^x=x².  dies Gleichung löst man mit einem Näherungsverfahren oder graphisch:

Dann ist ungefähr x<-0,9.