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Aufgabe:

Zu Zeigen ist, dass für alle x > 0 die folgende Ungleichung gilt:

ex/x > x/2


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist zuerst zu zeigen, dass x/2 > 0 ist, indem ich Umforme zu x2 > 0  und x>= 2x und somit >0.

Danach weiß ich, dass ex  = 0, + inf ist und 0 geteilt durch etwas ist immer 0, deswegen weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass ex/x > x/2 ist.

Wie kann ich es umformen, dass ich zu dieser Lösung komme?

Vielleicht Arbeit mit eln (x) *x ?


Ich stehe wirklich auf dem Schlauch, ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

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Aloha :)

Ich würde einfach mit der bekannten Reihendarstellung für exe^x arbeiten. Die lässt sich für x>0x>0 wie folgt abschätzen:ex=k=0xkk!>x22!=x22    exx>x2e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}>\frac{x^2}{2!}=\frac{x^2}{2}\implies\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}

Avatar von 153 k 🚀
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Dass die Ungleichung für positive Zahlen immer gilt, ist leicht einzusehen. Bleibt der Fall x<0 zu betrachten: Hier muss man die Lösungen von 2ex<x2 finden. Die Grenze dieses Bereiches ist Lösung von 2ex=x2.  dies Gleichung löst man mit einem Näherungsverfahren oder graphisch:

blob.png

Dann ist ungefähr x<-0,9.

Avatar von 124 k 🚀

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